Utilizar los límites para determinar si $a_n=\frac{(\ln n)^2}{\sqrt{n}}$ (sin L'Hospital) es convergente

Question

$a_n=\frac{(\ln n)^2}{\sqrt{n}}$ $(n\ge1)$

¿Utilizaría el teorema del estrujamiento o puedo tomar simplemente el límite de arriba y abajo?

utilizando L'Hopital, obtengo $a_n=\frac{(4\ln n)}{\sqrt{n}}$ $(n\ge1)$

Answer 1

Escribe la expresión como:

$$a_n = \left(\frac{4\,\log n^{\frac{1}{4}}}{n^{\frac{1}{4}}}\right)^2$$

y deberías avanzar, utilizando el hecho bien conocido de que $log\,u/u\to0$ como $u\to\infty$ .

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Simplemente estás utilizando la definición de función continua en términos de límites para la función $f(x)=x^2$ . Para demostrar $\mathscr{L}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\log n}{n}=0$ hacemos una sustitución $n=e^u$ y luego $\mathscr{L} = \lim\limits_{u\to\infty}\frac{u}{e^u}$ . Desde $e^u > 1 + u + \frac{u^2}{2!}$ Esto último no debería suponer ningún problema.

Answer 2

$$\ln{n}=4\ln{n^{\frac{1}{4}}}$$ y $$\sqrt{n}=(n^{\frac{1}{4}})^2$$ y sabes $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln{x}}{x}=0$ así $$\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=\frac{16(\ln{n^{1/4})^2}}{(n^{1/4})^2}=0$$

Answer 3

Aquí basta (y sobra) con el teorema del estrujamiento. De forma más general, demostramos que si $a, b$ son números reales positivos, entonces $$\lim_{n \to \infty}\frac{(\log n)^{a}}{n^{b}} = 0\tag{1}$$ Sea $f(n) = (\log n)^{a}/n^{b}$ y $c = b/a$ y $g(n) = (\log n)/n^{c}$ para que $f(n) = \{g(n)\}^{a}$ y si demostramos que $g(n) \to 0$ como $n \to \infty$ entonces $f(n) \to 0$ como $n \to \infty$ .

Tenemos $c > 0$ y, por tanto, es posible elegir $d$ con $0 < d < c$ . Sea $n > 1$ para que $n^{d} > 1$ y entonces sabemos que $$0 < \log n^{d} < n^{d} - 1 < n^{d}$$ o $$0 < d \log n < n^{d}$$ o $$0 < \log n < \frac{n^{d}}{d}$$ y por lo tanto $$0 < \frac{\log n}{n^{c}} < \frac{1}{dn^{d - c}}$$ Observando que $d - c > 0$ y aplicando el teorema de Squeeze cuando $n \to \infty$ obtenemos $$\lim_{n \to \infty}\frac{\log n}{n^{c}} = 0\tag{2}$$ Así pues, hemos establecido que $g(n) \to 0$ como $n \to \infty$ .