Hallar la excentricidad de la hipérbola $\left|\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}\right|-\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}=1$

Question

Halla la excentricidad de la hipérbola dada: $$\left|\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}\right|-\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}=1$$

( imagen original del problema )

Answer 1

En primer lugar, el valor absoluto no importa, porque las raíces cuadradas son siempre positivas. Por la fórmula de la distancia, esto significa Distancia de $(x,y)$ a $(3,2)$ menos la distancia desde $(x,y)$ a $(-1,-1)$ . Por lo tanto, por la definición de una hipérbola, los focos son $(3,2),(-1,-1)$ y la distancia del centro a los vértices es $\frac{1}{2}$ .

Este centro está en los puntos medios de los 2 focos, o $(1,0.5)$ . La distancia de un foco al centro es 2,5, por la fórmula de la distancia.

Por lo tanto, la excentricidad es $\frac{\mathrm{distance}\:\mathrm{from}\:\mathrm{focus}\:\mathrm{to}\:\mathrm{center}}{\mathrm{\mathrm{distance}\:\mathrm{from}\:\mathrm{vertex}\:\mathrm{to}\:\mathrm{center}}}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = 5$

Espero que esto ayude.