Deducciones naturales de la lógica proposicional y la lógica de predicados

Question

Intento demostrar lo siguiente:

1. ¬(A --> B) ¬(¬A v B)
2. ¬(¬A v B) (A ^ ¬B)
3. xy(P(x, y) --> ¬P(x, y)) x¬P(x, x)

Para los dos primeros, creo que el primer paso es intentar asumir la contradicción, pero no estoy seguro de adónde ir a partir de ahí. Para el tercero, esto es lo que tengo:

1. xy(P(x, y) --> ¬P(x, y)) premisa
2. y(P(a, y) --> ¬P(a, y)) -eliminación de la línea 1
3. (P(a, b) --> ¬P(a, b)) -eliminación de la línea 2
4. Suposición P(a, b)
5. ¬P(a, b) eliminación por flecha de las líneas 3 y 4
6. x¬P(x, b) -introducción de la línea 5
7. xx¬P(x, x) -introducción de la línea 6
8. x¬P(x, x) -eliminación de la línea 7

pero no se si mi paso 5 o 7 funcionan...

Answer 1

Para los dos primeros, como usted ha dicho, procedemos indirectamente:

$1.~\lnot(A \rightarrow B) \vdash \lnot(\lnot A \lor B)$

$2.~\lnot(\lnot A \lor B) \vdash (A \land \lnot B)$

$3.~\forall x \forall y(P(x, y) \rightarrow \lnot P(x, y)) \vdash \forall x \lnot P(x, x)$

Esta versión es un poco diferente de la tuya, pero la estrategia general es la misma: