Dini del Teorema y las pruebas para la convergencia uniforme

Question

Supongamos $f_n$ es una secuencia de funciones definidas en un conjunto $K$ con pointwise la función de límite de $f$.

Estoy confundido acerca de lo siguiente.

Si se cumplen las siguientes condiciones:

1. $f_n$ es continua en a $K$ todos los $n$.
2. El pointwise límite de $f$ es continua en a $K$.
3. $K$ es un intervalo compacto (es decir, una cerrada y delimitada intervalo en $\mathbb{R}$).
4. La convergencia de $f_n$ $f$es creciente o decreciente.

Entonces, ¿esto implica que $f_n$ es uniformemente convergente a $f$?

Ahora otro problema: Si una de estas condiciones no se cumple, ¿esto implica que $f_n$ no es uniformemente convergente a $f$?

Si $f_n$ no es uniformemente convergente a f, ¿significa esto que una de estas cuatro condiciones, no?

En general: ¿cuál es la relación lógica entre la convergencia uniforme y estas cuatro condiciones?

Por favor, necesito respuestas a todas las preguntas anteriores, porque este teorema que siempre me confunde cuando voy a resolver los problemas y no sé cómo usarlo correctamente. Gracias por su ayuda de antemano.

Answer 1

El teorema de como se afirma es verdadero (ver mi comentario): Si 1), 2), 3) y 4) mantener, a continuación, $f_n$ converge uniformemente a $f$.

La respuesta a la tercera pregunta es "sí". Este es el contrapositivo del teorema, que es lógicamente equivalente a la del teorema.

Creo que la respuesta a la segunda pregunta es no (específicamente, 4) no necesariamente tiene que aguantar).

Otras observaciones:

Observación 1: El teorema es "apretado" (?); es decir, cada una de las hipótesis que son necesarios para asegurar que la convergencia es uniforme.

A ver esta:

Tome $K=[0,1]$. Las funciones de $f_n(x)=x^n$ dar una secuencia de satisfacciones 1), 3) y 4), pero no 2).

$f_n$ converge a $f=0$ pointwise pero no converge uniformemente a$f$$K$.

Tome $K=[0,\infty)$$f_n(x)=\begin{cases} 0,\; & 0\leq x\leq n\\x-n , &n< x\leq n+1\\ 1 ,& x>n+1\end{cases}$. Esta secuencia satisface 1), 2) y 4), pero no 3).

$f_n$ converge a $f=0$ pointwise pero no converge uniformemente a$f$$K$.

Tome $K=[0,1]$ y deje $f_n(x)$ ser la función cuya gráfica consiste en el segmento de línea recta de$(0,0)$$({1\over2n},1)$, el segmento de línea recta de$({1\over2n},1)$$(0, {1\over n})$, y el segmento de línea recta de$({1\over n},0)$$(1,0)$. A continuación, $f_n$ satisface 1), 2) y 3), pero no 4).

$f_n$ converge a $f=0$ pointwise pero no converge uniformemente a$f$$K$.

Tome $K=[0,1]$$f_n(x)=\begin{cases}1, & 0\le x\le 1-{1\over n}\cr 0,&1-{1\over n}< x<1\\1,\;&x=1\end{cases} $. Esta secuencia satisface 2), 3) y 4), pero no 1).

$f_n$ converge a $f=1$ pointwise pero no converge uniformemente a$f$$K$.

Observación 2: Si $(f_n)$ es uniformemente convergente a $f$, no puede concluir que todas las cuatro condiciones. Por ejemplo, $f_n(x)=\begin{cases}1/n,& 0\leq x<1/2\\ -1/n& 1/2\leq x\leq1 \end{cases}$ converge uniformemente a la función cero. Pero $(f_n)$ no satisface 1) o 4).

Esto muestra que el recíproco del teorema es falso. No es un "si y sólo si" teorema.

Voy a ampliar este post más tarde (si está permitido).