Función con un número determinado de imágenes previas

Question

Sea $A,B\subset\mathbb{R},n\ge2$ .

Sea $f:A\to B$ (no necesariamente continua) tal que $\forall a\in A,f^{-1}(a)$ es una tupla de $n$ elementos.

Sé que si $f$ en continuo, para $A=B=\mathbb{R}$ y $n=2$ dicha función no existe. Por lo tanto me preguntaba :

¿Cuándo existe tal función? En caso afirmativo, ¿se puede dar una fórmula explícita para dicha función?

Answer 1

Estoy tomando $A=B=\Bbb R$ aquí. Siguiendo tu demostración del teorema del valor intermedio de que no existe ninguna función continua para $n=2$ se puede demostrar de forma similar que no existe ninguna siempre que $n$ es par. Sin embargo puede construir fácilmente funciones continuas para cualquier $n$ impar. Aunque yo siempre lo he hecho gráficamente, seguro que se pueden encontrar fórmulas explícitas.

Answer 2

Tendrías que encontrar una función continua que viole la prueba de la línea horizontal. Sin embargo, no tendrá $n$ -en el punto crítico. Consideremos la inversa de la función $y = 4x^2 - 4x + 1$ . La preimagen de esta función es una 2-tupla excepto en $0.5$ . Lo mismo puede decirse de todas las preimágenes de polinomios de grado $k: 2 \leq k \leq n$ .