Convergencia de un producto de sucesiones convergentes en media cuando una de ellas está acotada

Question

Supongamos que $X_n\to X$ en $L^1$ y $V_n\to V$ en $L^1$ y $(V_n)$ es una secuencia acotada. Estoy tratando de demostrar que entonces $\mathbb{E}X_nV_n\to \mathbb{E}XV$ .

Uno tiene para todos $N\in\mathbb{N}$ $$|\mathbb{E}X_nV_n-\mathbb{E}XV_n+\mathbb{E}XV_n-\mathbb{E}XV|\leq \mathbb{E}|V_n||X_n-X|+N\mathbb{E}(V_n-V)1_{\{|X|\leq N, V_n\geq V\}}+ N\mathbb{E}(V-V_n)1_{\{|X|\leq N, V\geq V_n\}}+|\mathbb{E}X(V_n-V)1_{\{|X|>N\}}|.$$ Ahora los tres primeros miembros de la derecha convergen a $0$ como $n\to\infty$ . ¿Cómo se hace esto último? ¿O tal vez debería hacerse de otra manera?

Answer 1

Para el último término, utilice $$ |\mathbb{E} X(V_n-V) 1_{|X|>N}| \leq C |\mathbb{E} X 1_{\{|X|>N\}}|, $$ donde $C$ es nuestro límite para $V_n$ . Así que usando tu argumento anterior obtienes un límite como $$ \lim_{n\to\infty} |\mathbb{E}X_nV_n - \mathbb{E}XV| \leq C |\mathbb{E} X1_{\{|X|>N\}}|, $$ que se cumple para todos $N$ . Pero $X\in L^1$ de modo que $N\to\infty$ el lado derecho pasa a $0$ . Por lo tanto, el límite de la izquierda es $0$ Así que $\mathbb{E}X_nV_n\to \mathbb{E}XV$ .