Demostrar que la suma de los radios de los círculos

Question

$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Demostrar que la suma de los radios de los círculos dibujados en el interior de los triángulos $\Delta ABC$ y $\Delta CDA$ es igual a la suma de los radios de los círculos trazados en el interior de los triángulos $\Delta BCD$ , $\Delta DAB$ .

Se me ocurrió la idea de que puedo utilizar el Teorema japonés para demostrar que la distancia entre los centros es igual - forman un rectángulo - pero no puedo resolverlo. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Pista. Utiliza el Teorema de Carnot: Dado un triángulo $\Delta ABC$ , dejemos que $O$ denotan su circuncentro, $R$ su circunradio, y $r$ su inradio. Sea $O_1,O_2,O_3$ sean además las proyecciones ortogonales de $O$ en $BC, CA, AB$ respectivamente. Entonces tenemos $$OO_1+OO_2+OO_3=R+r$$ Aviso: El segmento $OO_i$ se considera negativo si $OO_i$ se encuentra completamente fuera $\Delta ABC$ y positivo en caso contrario. Toma, $\color{blue}{OO_2}$ sería negativo, mientras que $\color{red}{OO_1, OO_3}$ son positivos. Por comodidad, dejemos que $AB=:c, BC=:a, CA=:b$ . Observe que $OO_3BO_1$ es un cuadrilátero cíclico ya que $\angle BO_3O+\angle OO_1B=90^\circ+90^\circ=180^\circ$ y, por lo tanto, se puede utilizar el Teorema de Ptolomeo para deducir $$\begin{align*}OB\cdot O_1O_3&=OO_3\cdot BO_1+O_3B\cdot OO_1\\\iff R\cdot \frac{b}2&=OO_3\cdot \frac{a}2+\frac{c}2\cdot OO_1\end{align*}$$ Análogamente, obtendrá \begin{cases}R\cdot a=OO_3\cdot b+OO_2\cdot c\\ R\cdot b=OO_1\cdot c+OO_3\cdot a\\ R\cdot c=OO_2\cdot a+OO_1\cdot b \end{cases}

Súmalos y considera la conocida ecuación $$r\cdot (a+b+c)=2\cdot [\Delta ABC]=OO_1\cdot a+OO_2\cdot b+OO_3\cdot c$$ (¿ves ahora por qué es importante tomar $OO_2$ ser negativo?). La primera parte no es más que una consecuencia de dividir $\Delta ABC$ en tres triángulos con el incentro como vértice. La segunda parte es trivial. $$\begin{align*}R\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (b+c)+OO_2\cdot (c+a)+OO_3\cdot (a+b)\\ R\cdot (a+b+c)+r\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (a+b+c)+OO_2\cdot (a+b+c)+OO_3\cdot (a+b+c)\\\iff R+r&=OO_1+OO_2+OO_3\end{align*}$$

Ahora, volviendo a tu problema, es bastante fácil de terminar una vez que tenemos esta joya :)

(Me referiré a la imagen.) Obsérvese que utilizando el Teorema de Carnot dos veces, una para $\Delta ABD$ y otra vez para $\Delta BCD$ obtenemos $$R+r_1=OO_1+OO_5+OO_4\qquad \text{and}\qquad R+r_2=OO_2+OO_3+OO_5$$ Observe que $OO_5$ es negativo para $\Delta ABD$ y positivo para $\Delta BCD$ . Por tanto, si sumamos estas dos ecuaciones, obtendremos $$r_1+r_2=OO_1+OO_2+OO_3+OO_4-2R$$ Es fácil ver que esta expresión será idéntica cuando se refiera a $r_3+r_4$ .