Prueba $\lim_{(x,y)\to(1,1)} x^2+xy+y=3$

Question

Demostrar que $$\lim_{(x,y)\to(1,1)} x^2 + xy + y = 3$$ utilizando la definición épsilon-delta.

Lo que he probado:

Sea $\epsilon > 0$ ser arbitraria. Debemos demostrar que para cada $\epsilon$ podemos encontrar $\delta>0$ tal que

$$0 < \|(x,y) - (1,1)\| < \delta \implies \|f(x,y) - 3\| < \epsilon$$ .

O lo que es lo mismo,

$$0 < \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} < \delta \implies |x^2+xy+y-3| < \epsilon$$

El problema es encontrar el $\delta$ . He estado tratando de manipular $|x^2+xy+y-3|$ sin éxito.

$|x^2+xy+y-3|$

$=|(x^2-1)+y(x+1)-2|$

$=|(x-1)(x+1)+y(x+1)-2|$

$=|(x+1)[(x-1)+y]-2|$

$=|(x+1)||[(x-1)+(y-1)-1|$

Agradecemos cualquier ayuda.

Answer 1

\begin{align} x^2+xy+y-3 &= (x-1)^2+2x-1+(x-1)(y-1)+x+y-1+(y-1)+1-3 \\ &=(x-1)^2+(x-1)(y-1)+(y-1)+3x+y-4 \\ &=(x-1)^2+(x-1)(y-1)+(y-1)+3(x-1)+(y-1)\\ &=(x-1)^2+(x-1)(y-1)+2(y-1)+3(x-1)\\ \end{align}

Sea $\delta= \min(1, \frac{\epsilon}7),$

Entonces

\begin{align} |x^2+xy+y-3| &\leq |x-1|^2+|x-1||y-1|+2|y-1|+3|x-1| \\ &\leq 2\delta^2+5\delta \\ & \leq 7 \delta \\ & \leq \epsilon \end{align}

Alternativamente, déjame trabajar desde donde lo dejaste, hay un error en la última línea de tu ecuación, debería ser

\begin{align} (x+1)[(x-1)+(y)]-2 &=(x+1)[(x-1)+(y-1+1)]-2 \\ &=(x+1)[(x-1)+(y-1)]+x+1-2 \\ &=(x+1)[(x-1)+(y-1)]+(x-1) \end{align}

Elija $\delta = \min(1, \frac{\epsilon}7)$

Entonces $|x-1|\leq \delta$ implica $1-\delta \leq x \leq 1+\delta$ y por lo tanto $|x+1|\leq 3,$

H \begin{align} |(x+1)[(x-1)+(y-1)]+(x-1)| &\leq 3 [|x-1|+|y-1|]+|x-1|\\ & \leq 3(2\delta)+\delta \\ & = 7\delta \\ & \leq \epsilon \end{align}

Answer 2

Es más fácil si sustituyes $x=t+1$ y $y=u+1$ Así que $$ x^2+xy+y-3=(t+1)^2+(t+1)(u+1)+(u+1)-3= t^2+tu+3t+2u $$ Ahora bien, si $t^2+u^2<\delta^2$ que es lo mismo que $\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}<\delta$ seguramente tenemos $|t|<\delta$ y $|u|<\delta$ Así que $$ |t^2+tu+3t+2u|\le |t^2+u^2|+|t|\,|u|+3|t|+2|u|\le 2\delta^2+5\delta $$ y sólo tenemos que mantener $2\delta^2+5\delta<\varepsilon$ que se alcanza para $$ 0<\delta<\frac{-5+\sqrt{25+8\varepsilon}}{4} $$