¿Los elementos de una muestra son realizaciones i.i.d. de la misma variable aleatoria o realizaciones de diferentes variables aleatorias i.i.d.?

Question

Si hay alguna muestra $X^n=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ ¿consideramos los elementos de esta muestra $x_i$ realizaciones independientes e idénticamente distribuidas de la misma variable aleatoria $X$ o son todas realizaciones de diferentes variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas $X_1,X_2,...,X_n$ (observación $x_1$ es la realización de una variable aleatoria $X_1$ Observación $x_2$ es la realización de una variable aleatoria $X_2$ etc.)?

Espero que esto tenga sentido.

Answer 1

Puedes pensar en $(x_1,\ldots,x_n)$ como realización de $n$ copias independientes de $X$ . Básicamente, existe un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathsf{P})$ en segundo plano para que $(x_1,\ldots,x_n)=(X_1(\omega)\ldots,X_n(\omega))$ para algunos $\omega\in\Omega$ que se elige aleatoriamente según $\mathsf{P}$ . Entonces la afirmación " realizaciones independientes e idénticamente distribuidas de la misma variable aleatoria " no tiene sentido. Aunque, a veces $(x_1,\ldots,x_n)$ se denomina muestra aleatoria de una distribución determinada (por ejemplo $F_X$ ).