¿Puede una línea vertical ser un PDF válido?

Question

Consideremos una variable aleatoria X que siempre toma un único valor, c. Yo pensaría que una PDF válida para X sería $$f(x) = \begin{cases} 1/c & x = c \\ 0 & \text{Otherwise}\end{cases}$$

Sin embargo, sé que se supone que la FDP es la derivada de la FCD, y en este caso la derivada de F(x) sería 0, tanto cuando $x<c$ y cuando $x\geq c$

¿Qué me falta?

Answer 1

Lo que busca es el Función delta de Dirac En concreto

$$f(x) = \delta(x-c).$$

He puesto "función" entre comillas, ya que el delta de Dirac no es una función real, aunque en muchos casos puede tratarse como tal.

De manera informal, puede visualizar $\delta(x)$ como una función que tiene un pico infinitamente alto en $x=0$ y es cero en todas las demás partes; en concreto, el "pico infinitamente alto" tiene que ser lo suficientemente alto como para que el área bajo él se integre en $1$ . Por supuesto, ninguna función de valor real puede tener ese pico, pero resulta que, si simplemente pretendemos que esa función existe y no nos hacemos preguntas difíciles sobre cuál es su valor en $x=0$ En realidad, muchos cálculos funcionarán como si no pasara nada impar.

Formalmente, el delta de Dirac puede definirse como a función generalizada específicamente como distribución . (Y no, la similitud del nombre con "distribución de probabilidad" no es una coincidencia).

Answer 2

Su $f$ no es un PDF válido, ya que $$\int_{ - \infty }^\infty {f(x)\,dx} = 0 \neq 1.$$

Answer 3

Una PDF (función de densidad de probabilidad) es sólo para una distribución continua - más precisamente, una distribución que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue. Su distribución es discreta, no continua, por lo que no tiene una PDF, tiene una PMF (función de masa de probabilidad). También hay distribuciones continuas singulares (pero nadie habla de ellas en los cursos elementales), y mezclas de los tres tipos.

Answer 4

La respuesta a la pregunta del asunto es sí .

Específicamente: $$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if }x=c \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

La es una densidad de probabilidad con respecto a la medida de recuento en la recta real.