Problema de teoría de la medida de Folland

Question

Sea $X=Y=[0,1]$ , $\mathcal M=\mathcal N=\mathcal B_{[0,1]}$ , $\mu=$ medida de Lebesgue, y $\nu=$ medida de recuento. Si $D={(x,x):x\in [0,1]}$ es la diagonal en $X$ x $Y$ entonces $\int \int \mathcal X_D d\mu d\nu $ , $\int \int \mathcal X_D d\nu d\mu $ y $ \int \mathcal X_D d(\mu \times \nu) $ son todos desiguales.

Answer 1

Ok, bien $\int \limits_{[0,1]} \int \limits_{[0,1]} \chi_{D} \, d\nu \,d\mu$ es la integración con respecto a $nu$ , medida de recuento, primero. Para fijo $x$ estamos contando cuántos $y$ cumplen que $(x,y) \in D = \{(x,x) : x \in [0,1] \}$ . Pero si $x$ es fijo, y los pares ordenados en $D$ tienen tanto el $x$ y $y$ coordenadas iguales, entonces sólo hay una $y$ . Así que $\nu(D) = 1$ . Entonces estamos integrando $\int \limits_{[0,1]} 1 \, d\mu = \mu([0,1]) = 1$ ya que la medida de Lebesgue del intervalo unitario es $1$ .

Ahora, la otra orden: $\int \limits_{[0,1]} \int \limits_{[0,1]} \chi_{D} \, d\mu \,d\nu$

En primer lugar, la integral interna: para $y$ queremos conocer la medida de Lebesgue del conjunto de $x$ tal que $(x,y) \in \{(y,y) : y \in [0,1] \}$ . Pero $y$ es fijo, y puesto que $x$ debe ser igual a $y$ entonces sólo hay una $x$ y la medida de Lebesgue de un conjunto con un solo elemento es $0$ . Por lo tanto, la integral interna se evalúa como $0$ . Pero eso significa que la integral exterior es una integral de $0$ por lo que es igual a $0$ .

Esto demuestra que $\int \limits_{[0,1]} \int \limits_{[0,1]} \chi_{D} \, d\nu \,d\mu \neq \int \limits_{[0,1]} \int \limits_{[0,1]} \chi_{D} \, d\mu \,d\nu$ .

Entonces, sabemos por el teorema de Fubini que si nuestra función original $\chi_{D}$ en $X \times Y$ estaban en $L^{1}(d(\mu \times \nu))$ (es decir, si tuviera integral finita), entonces las integrales iteradas deben ser iguales. Pero descubrimos que las integrales iteradas no eran iguales, lo que significa que la función original es pas en $L^{1}$ lo que significa que su integral es infinita. Eso demuestra que ninguna de las tres integrales es igual.

Tenga en cuenta que el final de mi argumento utilizó el hecho de que la declaración $p \to q$ es equivalente a $\neg q \to \neg p$ .