Hallar los límites superior e inferior de la suma finita

Question

Halla los límites superior e inferior de la siguiente suma finita:

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + ··· + \frac{1}{n^3}$

Mi intento es: Usando la prueba integral:

sabemos que $\frac{1}{1} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + ··· + \frac{1}{n^3}$ = $\sum_{i=1}^n 1/i^3$ = $\int_1^n$ 1/ $i^3$ di = $\int_1^n1/x^3$ dx = $-1/2n^2$ + $1/2$

Pero ahora estoy atascado. ¿Cómo puede esta prueba dar los bouunds inferior y superior? ¿Alguna ayuda por favor?

Answer 1

Usted no sabe que $\sum_{i=1}^n 1/i^3= \int_1^n1/x^3\, dx$ ya que la igualdad no es exacta. De hecho $$\int\limits _1^{n+1}\frac{1}{x^3}\, dx \le \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^3}\le 1+ \int\limits_1^n \frac{1}{x^3}\, dx $$

y utilizando su análisis anterior, esto se convierte en $$\frac12 - \frac{1}{2(n+1)^2} \le \sum\limits _{i=1}^n \frac{1}{i^3}\le \frac32 - \frac{1}{2n^2}.$$

Este límite inferior no es bueno, ya que claramente $\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^3}\ge 1$ cuando $n\ge 1$ . Como sugirió Will Jagy, podría ser mejor utilizar como límite inferior $1+\int\limits _2^{n+1}\frac{1}{x^3}\, dx =$ así que $$ \frac{9}{8}-\frac{1}{2(n+1)^2}\le \sum\limits _{i=1}^n \frac{1}{i^3}\le \frac32 - \frac{1}{2n^2}.$$

Estos límites no sirven para $n\ge 2$ y podrías continuar el proceso. Un enfoque alternativo podría ser empezar por el otro extremo y observar que la suma infinita es $\zeta(3)= \sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{i^3} \approx 1.2020569$ conocido como La constante de Apéry y luego restar $\int\limits _n^{\infty}\frac{1}{x^3}\, dx$ ou $\int\limits _{n+1}^{\infty}\frac{1}{x^3}\, dx$ así que $$\zeta(3) -\frac{1}{2n^2} \le \sum\limits _{i=1}^n \frac{1}{i^3}\le \zeta(3) -\frac{1}{2(n+1)^2} $$ y estos son más ajustados que la sugerencia original de $n\ge 2$ y mucho más ajustado como $n$ aumenta.

Answer 2

La siguiente imagen muestra cómo hacerlo. Lo mejor es separar la inicial $1$ y tomar la suma de $a=2$ a $b=n,$ porque la dirección del límite superior necesita una integral que comience en $a-1.$

composición tipográfica, dado $f > 0$ y $f' < 0,$ obtenemos $$ \int_a^{b+1} \; f(x) \; dx \; < \sum_{j=a}^b \; f(j) < \int_{a-1}^b \; f(x) \; dx$$