El (esférica) loxodrome, o la línea de rumbo, es la curva de constante influencia en la esfera; es decir, es la forma esférica de la curva que corta a los meridianos de la esfera en un ángulo constante. Una pintoresca forma de decirlo es que si uno quiere viajar de un punto de un (esférica) globo al punto antipodal (es decir, desde el Polo Norte hasta el Polo Sur) en una dirección fija, el camino sería tomar en el mundo sería un loxodrome.
Para una unidad de la esfera, el loxodrome que se corta a los meridianos en un ángulo $\varphi\en\left(0,90^\circ\right]$ es dada por
$$\begin{align*}x&=\mathrm{sech}(t\cot\;\varphi)\cos\;t\\y&=\mathrm{sech}(t\cot\;\varphi)\sin\;t\\z&=\tanh(t\cot\;\varphi)\end{align*}$$
Mientras que jugando con loxodromes, he notado que para ciertos valores de $\varphi$, se puede orientar a los dos idénticos loxodromes de tal manera que no se intersecan (es decir, uno puede cambiar la posición de dos de los buques de tal forma que si ambos tienen similar loxodromic caminos, que nunca puede chocar). Aquí, por ejemplo, son dos loxodromes cuyo ángulo constante $\varphi$ es de 60°, orientado de tal manera que no se cruzan entre sí:
Por otro lado, para la (extrema!) caso de $\varphi=90^{\circ}$, los dos loxodromes degenerado a grandes círculos, y es bien sabido que los dos grandes círculos siempre debe intersectar (en dos antipodal puntos).
Menos extremo, pero aparentemente difícil, sería el problema de la colocación de dos 80° loxodromes tal que no se intersecan:
Esto me lleva a mi primera pregunta:
1) ¿Para qué valores de $\varphi$ no es imposible para orientar a los dos loxodromes de tal manera que no se crucen entre sí?
Por simplicidad, uno puede, por supuesto, arreglar uno de los dos loxodromes para ir desde el Polo Norte hasta el Polo Sur, y tratar de orientar el otro loxodrome para que no se cruce con el fijo loxodrome.
Esa es la versión más simple de mi real problema. Algunos experimentos parecen indicar que no es posible orientar a los tres loxodromes de tal manera que no se crucen entre sí. Así que...
2) ¿Es cierto que para todos (admisible) los valores de $\varphi$, no de la posición tres loxodromes tales que ninguno de ellos se cruzan entre sí?
Yo he probado un poco de búsqueda a su alrededor para ver si el problema ha sido considerado previamente, pero no he tenido suerte. Los punteros a la literatura será apreciado.
