Existencia y unicidad de la solución débil para la ecuación de Laplace con Dirichlet BC

Question

Considerando la ecuación $$-\Delta u=f\ \mathrm{in}\ \Omega$$ $$u=g\ \mathrm{on}\ \partial\Omega$$ donde $f\in L^2(\Omega)$ y existe $G\in H^1(\Omega)$ tal que $G=g$ en $\Omega$ .

Ahora quiero demostrar la elipticidad de $\Delta$ que supongo que tengo que hacer usando la desigualdad de Friedrichs. Pero eso sólo es válido para funciones de $H^1_0(\Omega)$ . Así que supongo que la solución $u$ tiene la forma $u=G+w$ donde $w\in H^1_0$ . La ecuación entonces toma la forma $$-\Delta w=f+\Delta G=F$$ Pero no sé si $F\in L^2(\Omega)$ . Entonces, ¿cómo demuestro la existencia y unicidad de la solución?

Answer 1

En realidad está claro cuando escribo la forma débil: \begin{align} -\int_\Omega\Delta w\ v&=\int_\Omega fv+\int_\Omega\Delta G\ v\\ \int_\Omega\nabla w\nabla v&=\int_\Omega fv-\int_\Omega\nabla G\nabla v\\ \int_\Omega\nabla w\nabla v&=\int_\Omega(fv-\nabla G\nabla v)\ \ \ \forall v\in H^1_0 \end{align} Así que tengo la ecuación de la forma \begin{equation} a(w,v)=F(v)\ \ \ \forall v\in H^1_0, \end{equation} donde \begin{align} a(w,v)&=\int_\Omega\nabla w\nabla v\\ F(v)&=\int_\Omega(fv-\nabla G\nabla v) \end{align} La elipticidad (coercitividad) de $a(\cdot,\cdot)$ se deduce de la desigualdad de Friedrichs, que ahora puedo utilizar, porque $w\in H^1_0(\Omega)$ . La delimitación es trivial en este caso.

En cuanto al funcionamiento $F$ también está acotada, porque $f,\ \nabla G\in L^2(\Omega)$ . Mi error fue asumir, que necesito $G\in L^2(\Omega)$ pero resulta que sólo necesito $\nabla G\in L^2(\Omega)$ que se cumple porque $G\in H^1(\Omega)=W^{1,2}(\Omega)$ .

Ahora puedo utilizar el teorema de Lax-Milgram para demostrar que existe un único $w\in H^1_0$ tal que \begin{equation} a(w,v)=F(v)\ \ \ \forall v\in H^1_0, \end{equation} y la solución de la ecuación es entonces $u=w+G$ .

Answer 2

Usted tiene $F \in H^{-1}(\Omega)$ y se puede utilizar el Teorema de Lax-Miligram para obtener la existencia y unicidad (en realidad es sólo el Teorema de Riesz-Representación en este caso).