Hallar el valor máximo y mínimo de la función inversa .

Question

Tenemos que encontrar el valor máximo y mínimo de $x^2 +y^2$

Mi intento

¿cómo puedo proceder?

Answer 1

Sea $\lfloor xy \rfloor=n$ entonces

$$\frac{x^2+y^2}{1-x^2y^2} = \tan \frac{n\pi}{4}$$

Ha comprobado que no hay soluciones para $0\le xy \le 1$ por lo que el valor de la tangente debe ser negativo, lo que se consigue cuando $n=3,7,\ldots, 4k-1, \ldots$

Ahora $$\begin{align} \frac{x^2+y^2}{1-x^2y^2} &= \tan \left( k\pi-\frac{\pi}{4} \right) \\ x^2+y^2 &= x^2y^2-1 \end{align}$$

El valor mínimo exigido se produce cuando $xy=3$ Por lo tanto

$$\fbox{$ \min \{ x^2+y^2 \}=8 $}$$

y no hay máximos.