Cómo evaluar $\int _0^{2\pi }\int _0^{\frac{\pi }{4}}\int _0^{\frac{1}{\cos\phi }}\:\:\:\rho ^2\sin\left(\phi \right)d\rho \:d\phi \:d\theta $ ?

Question

Me podeis ayudar con esta integral, tambien podeis mostrar el metodo de solucion, porque no se ni por donde empezar. Gracias

$$\int _0^{2\pi }\int _0^{\frac{\pi }{4}}\int _0^{\frac{1}{\cos\phi }}\:\:\:\rho ^2\sin\left(\phi \right)d\rho \:d\phi \:d\theta $$

Answer 1

La integral debe agruparse adecuadamente según el $3$ variables $\rho,\theta $ y $\phi$ , cada variable con su diferencial y sus respectivos límites de integración.

Así que tenemos que

$$\begin{align} I &= \int _0^{2\pi }\int _0^{\frac{\pi }{4}}\int _0^{\frac{1}{\cos\phi }}\rho ^2\sin\left(\phi \right)d\rho \:d\phi \:d\theta \\ &=\left[\int _0^{2\pi }\left\{\int _0^{\frac{\pi }{4}}\left(\int _0^{\frac{1}{\cos\phi }}\rho ^2d\rho\right) \sin\left(\phi \right) \:d\phi \right\} \:d\theta \right] \\ &=\left[\int _0^{2\pi }\left\{\int _0^{\frac{\pi }{4}}\left(\frac{1}{3\cos^3 (\phi)}\right) \sin\left(\phi \right) \:d\phi \right\} \:d\theta \right] \\ &=\frac{1}{3}\left[\int _0^{2\pi }\left\{\int _0^{\frac{\pi }{4}}\sec^2 (\phi) \tan (\phi) \:d\phi \right\} \:d\theta \right] \\ &=\frac{1}{3}\left[\int _0^{2\pi }\left\{\int _0^1 \tan (\phi) \:d(\tan (\phi)) \right\} \:d\theta \right] \\ &=\frac{1}{3}\left[\int _0^{2\pi } \frac{1}{2} \cdot \:d\theta \right] \\ &=\frac{1}{6}\left[\int _0^{2\pi } \:d\theta \right] \\ &=\frac{\pi}{3} \end{align}$$

Espero que esto ayude.

Answer 2

Para empezar, la integral interna es

$$\int_0^{1/\cos(\phi)} \rho^2 \sin(\phi) d\rho=\frac13 \frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)^3} = \frac13 \frac{\tan(\phi)}{\cos(\phi)^2}$$

Ahora sustituye $u=\tan(\phi)$ en la siguiente integral para obtener

$$\int_0^{\pi/4} \frac13\frac{\tan(\phi)}{\cos(\phi)^2} d\phi = \frac13\int_0^1 u du = \frac16.$$

Finalmente la última variable de integración ni siquiera aparece, por lo que la integral es en conjunto $2\pi\cdot \frac16=\frac{\pi}{3}$ .

Answer 3

Sugerencia :

La integral triple puede calcularse como una secuencia de integrales simples como:

$$ \int _0^{2\pi } \left[ \int _0^{\frac{\pi }{4}} \sin\left(\phi \right)\left(\int _0^{\frac{1}{\cos\phi }}\rho ^2d\rho \right)\:d\phi \right]\:d\theta $$