¿Cambia la energía cinética en función de la dirección de la velocidad?

Question

La energía cinética se calcula con la siguiente fórmula: $$E_k = \frac 12 mv^2$$ En $v$ representar el valor de la velocidad? Quiero decir, si usted tiene una dirección específica de la velocidad es la fórmula: $$E_k = \frac 12 mv_x^2$$ O $$E_k = \frac 12 m\left(\sqrt{v_x^2 + v_y^2}\right)^2$$

Independientemente de cuál de las ecuaciones sea la correcta, la dirección influirá en cuál es la mayor altura que puede alcanzar un cuerpo.

Dicho esto $$E = E_k + U_G \;\;\;\text{(Mechanical energy)}$$ ¿Cómo puedo calcular la altura máxima que puede alcanzar un cuerpo? Sé cómo calcularlo cuando sé que sólo se trata de un movimiento vertical.

Answer 1

Digamos que disparamos un proyectil desde el $xy$ -avión:

En $xy$ -es el plano horizontal, el $z$ -El eje es la Normal, que pasa por el centro de la Tierra.

En el momento del lanzamiento ( $t=0$ ) el proyectil tiene vectores de velocidad $\vec{v_x}$ , $\vec{v_y}$ y $\vec{v_z}$ . La energía cinética $K$ viene dada por:

$$K=\frac12m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$$

Entonces, ¿qué altura alcanzaría el proyectil (ignorando, por supuesto, la resistencia del aire)?

Comprender que sólo una fuerza actúa sobre el proyectil y lo hace en el (menos) $z$ -Dirección: gravedad .

A medida que el proyectil gana altura, también gana energía potencial $U$ :

$$U=mgz$$

Porque la gravedad sólo actúa en el $z$ dirección, sólo $\vec{v_z}$ se ve afectado y no $\vec{v_x}$ o $\vec{v_y}$ . Estos dos últimos vectores influirán en la distancia a la que caerá el proyectil desde el punto de lanzamiento, pero no en la altura que alcanzará.

Por eso podemos escribir:

$$mgz=\frac12mv_z^2,$$

a partir del cual el máximo $z$ se calcula.

Obsérvese que se respeta la conservación de la energía. Empezamos con:

$$T=K=\frac12m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$$

Y en el punto más alto:

$$T=U+K=mgz+\frac12m(v_x^2+v_y^2),$$

con:

$$mgz=\frac12mv_z^2$$