Resolución de una celosía estáticamente indeterminada

Question

Estoy intentando resolver la celosía estáticamente indeterminada que se muestra a continuación y estoy teniendo un pequeño problema.

$H$ , $P$ y $\beta$ se dan. El material es aluminio (densidad de 2700 ${kg/m^3}$ ) y tiene una sección transversal de 0,002 $m^2$ . Se nos pide que tengamos en cuenta el peso de cada miembro distribuyendo $\frac12$ del peso de cada miembro a sus articulaciones extremas.

Puedo resolver fácilmente $f_1$ , $f_3$ , $f_4$ , $f_5$ y las reacciones de apoyo utilizando la estática (método de las articulaciones), pero no puedo averiguar cómo hacer para resolver para los miembros restantes.

El punto principal de mi pregunta es, ¿cómo se resuelven las cerchas estáticamente indeterminadas? Supongo que tendré que utilizar alguna otra propiedad como la deformación. Sólo he puesto la pregunta de la tarea para proporcionar antecedentes de por qué estoy preguntando.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

He aquí una idea, tomada de la teoría elástica lineal. Resuelve todas las fuerzas en términos de una fuerza desconocida (yo elegí $f_{10}$ ) y construir un vector largo $f$

$$ \boldsymbol f = \begin{bmatrix} f_1 & f_2 & \dots & f_9 \end{bmatrix}^\top $$

donde cada componente es una función de $P$ , $\beta$ y $f_{10}$ .

Ahora ensambla algo parecido a la energía potencial total haciendo esto

$$ U = \frac{L}{2\,E\,A} \, \boldsymbol f^\top \boldsymbol f $$

Ahora minimizando esto con

$$ \frac{{\rm d}U}{{\rm d}f_{10}} = 0 $$

producirá un resultado para $f_{10}$ y, por tanto, todos los valores de $\boldsymbol{f}$ .

Esto funciona porque para cada elemento $f_i = \frac{E_i,A_i}{L_i} \delta_i$ donde $\delta_i$ es la deformación, y la energía es $U_i = \frac{1}{2} \left(\frac{E_i,A_i}{L_i}\right) \delta_i^2 = \frac{L_i}{2 E_i A_i} f_i^2 $ .

Así que $U = \sum U_i = \frac{L}{2\,E\,A} \, \boldsymbol f^\top \boldsymbol f $ excepto que no todos los elementos tienen la misma longitud. Así que mi método producirá un resultado incorrecto. Me acabo de dar cuenta de esto.

Para corregir esto hay que construir la energía total como

$$ U = \sum_{i} \frac{L_i}{2 E_i A_i} f_i^2 $$ y luego minimizarlo con la derivada.

Ejemplo ilustrativo

El equilibrio de fuerzas en los puntos A, B y C es

$$\begin{array}{cc} A_{y}-f_{1}=0\\ -P+f_{1}-f_{2}=0\\ C_{y}+f_{2}=0 \end{array}\biggr\}\begin{array}{cc} A_{y}=P+f_{2}\\ C_{y}=-f_{2}\\ f_{1}=P+f_{2} \end{array}$$ que es indeterminado. La energía de deformación total es $$U=\frac{L_{1}}{2EA}f_{1}^{2}+\frac{L_{2}}{2EA}f_{2}^{2} \\ =\frac{L_{1}}{2EA}\left(P+f_{2}\right)^{2}+\frac{L_{2}}{2EA}f_{2}^{2}$$
que se minimiza mediante $$\frac{{\rm d}U}{{\rm d}f_{2}}=\frac{1}{2E\, A}\left[\frac{{\rm d}}{{\rm d}f_{2}}\left(L_{1}\left(P+f_{2}\right)^{2}\right)+\frac{{\rm d}}{{\rm d}f_{2}}\left(L_{2}f_{2}^{2}\right)\right]=0 \\ =\frac{1}{E\, A}\left(L_{1}\left(P+f_{2}\right)+L_{2}f_{2}\right)=0 \\ f_{2}=\mbox{-}\frac{L_{1}}{L_{1}+L_{2}}P$$ sustituyendo en $$ A_y = \frac{L_2}{L_1+L_2} P \\ C_y = \frac{L_1}{L_1+L_2} P \\ f_1 = \frac{L_2}{L_1+L_2} P $$

Por supuesto, en tu caso, tienes que añadir los pesos de los miembros en las ecuaciones de equilibrio de los nodos.