Resuelva $y=xy'+\frac{1}{2}y'^2$ (enfoque de necesidad)

Question

$y=xy'+\frac{1}{2}y'^2$

Alguien me puede explicar como resolver este tipo de ecuaciones es la primera vez que "veo" una ecuación que tiene $y'$ hasta cierto punto, no es necesaria una solución completa, sólo el método general.

EDITAR: He leído algunos artículos y he llegado a esto:

$y=xp+\frac{1}{2}p^2$ ahora si diferenciamos con respecto a $x$ obtenemos:

$p=xp'+p+pp'$

$pp'+xp'=0$

$p'(p+x)=0$

$p'=0$ entonces $p=C$ y si $p+x=0$ entonces $p=-x$

por lo que tenemos $y_1 = Cx+K$ y $y_2=\frac{-x^2}{2}+K$ donde C y K son constantes.

Answer 1

Se trata de un tipo de EDO denominado " Ecuación de Clairaut ".

Supongamos que tienes una ecuación en la forma de:

$$y=xy'+\psi(y')$$

Definición de $p=y'$ obtenemos

$$y=xp+\psi(p)$$

Si tomas la derivada de la ecuación obtienes:

$$p=1\cdot p+x\cdot \frac{dp}{dx} + \psi'(p)\cdot \frac{dp}{dx}$$

o

$$\frac{dp}{dx}(x+\psi'(p))=0$$

Así que tienes dos soluciones. O bien $\frac{dp}{dx}=0$ y $p$ es constante (por lo tanto, se puede ver que $y=ax+\psi(a)$ ), o

$$x=-\psi'(p)$$ que es una ecuación algebraica que dará $p(x)$ y puedes sustituirla en la ecuación original:

$$y=xy'+\psi(y')=-\psi'(p)\cdot p + \psi(p) $$ donde $p$ es una función conocida de $x$ .