Una integral que involucra la inversa de a $f(x)=\log x-\log\cos x+x\tan x$

Question

Deje que la función de $f:\left(0,\,\displaystyle\frac\pi2\right)\to\mathbb{R}$ se define como $$f(x)=\log x-\log\cos x+x\tan x.$$ Deje que su inversa se denota como $f^{(-1)}:\mathbb{R}\to\left(0,\,\displaystyle\frac\pi2\right)$, cumple con $$\forall z\in\mathbb{R},\ \ f(f^{(-1)}(z))=z.$$ Considere la integral $$I=\int_0^1z\,e^z\,f^{(-1)}(z)\,dz.$$ Es posible evaluar la integral de la $I$ en forma cerrada?
Conocido funciones especiales (que aparecen en MathWorld o DLMF) están bien.

Answer 1

Sé que ha pasado algún tiempo, pero ahora podemos transformar esta pregunta en algo más manejable. Sólo tendremos que utilizar la sustitución de $z = f(x)$$dz = f'(x) dx$. Los límites de integración cambiar a los puntos de $x$ donde $f(x)$ respectivamente, $0$ o $1$. Llamar a estos puntos de $x_0$$x_1$. Numéricamente son

$$x_0 = 0.576412723\ldots$$

$$x_1 = 0.807626251\ldots$$

Y así tenemos

$$I = \int_{x_0}^{x_1} f(x) e^{f(x)}f^{(-1)}(f(x)) f'(x) dx = \int_{x_0}^{x_1} x f'(x)f(x)e^{f(x)} dx$$

Ahora podemos realizar la integración por partes con

$$u = x f(x),\quad du = (f(x) + x f'(x)) dx$$ $$dv = f'(x) e^{f(x)} dx ,\quad v = e^{f(x)}$$

y la integral se convierte en

$$I = x_1f(x_1)e^{f(x_1)}-x_0f(x_0)e^{f(x_0)}-\int_{x_0}^{x_1}f(x)e^{f(x)} dx - \int_{x_0}^{x_1} x f'(x)e^{f(x)} dx$$

Desde $f(x_0) = 0$ $f(x_1) = 1$ hemos

$$I = x_1 -\int_{x_0}^{x_1}f(x)e^{f(x)} dx - \int_{x_0}^{x_1} x f'(x)e^{f(x)} dx$$

Ahora podemos realizar la integración por partes en la última integral con

$$u = x ,\quad du = dx$$ $$dv = f'(x) e^{f(x)} dx ,\quad v = e^{f(x)}$$

y llegamos

$$I = x_1 - x_1e^{f(x_1)}+x_0e^{f(x_0)}- \int_{x_0}^{x_1}f(x)e^{f(x)} dx+\int_{x_0}^{x_1}e^{f(x)} dx$$

Resulta que podemos realizar la integración en la primera integral desde

$$e^{f(x)} = \frac{x}{\cos x} e^{x\tan x}$$

y

$$\int e^{f(x)} dx = e^{x \tan x}\cos x$$

Después de limpiar un poco

$$I = x_0+ e^{x_1 \tan x_1}\cos x_1-e^{x_0 \tan x_0}\cos x_0 - \int_{x_0}^{x_1} f(x)e^{f(x)} dx$$

y aquí es donde estoy pegado. Mathematica es tener un problema con él. En $[x_0,x_1]$ hemos

$$f(x) e^{f(x)} = \frac{x e^{x\tan(x)}}{\cos x}\left(\ln\left(\frac{x}{\cos x}\right)+x\tan x\right)$$

También tenemos otra forma

$$f(x) e^{f(x)} = \left(\frac{x^2 \sin x}{\cos^2x}+\frac{x}{\cos x}\ln\left(\frac{x}{\cos x}\right)\right)e^{x\tan x}$$

que sugieren que podríamos tener mejor suerte buscando en los siguientes dos integrales

$$J = \int_{x_0}^{x_1} \frac{x^2 \sin x}{\cos^2x}e^{x\tan x} dx$$

y

$$K = \int_{x_0}^{x_1} \ln\left(\frac{x}{\cos x}\right)e^{x\tan x} dx$$

El otro problema, quizás, es que $x_0$ $x_1$ se dan de forma numérica. No tengo idea de si se podía encontrar a un cerrado de expresión para ellos o incluso quizás algo como una serie representación.

EDIT1: no estoy seguro de si esto podría ser llamado una reducción, pero el uso de la ecuación de definición de $f(x)$ podemos decir que

$$\cos x_1 e^{x_1 \tan x_1} = x_1 e^{-1+2 x_1 \tan x_1}$$

$$\cos x_10 e^{x_0 \tan x_0} = x_0 e^{2 x_0 \tan x_0}$$