Demostrar que un conjunto no es un campo ordenado

Question

Problema:

Sea $S=\left \{ 0,1,2 \right \}$ . ¿Cómo puede alguien demostrar que existe una única forma de definir la suma y la multiplicación tal que $S$ es un campo si $0$ del conjunto $S$ tiene el significado (para cualquier elemento $a$ en $S$ : $0+a=a$ ), y $1$ en $S$ tiene el significado (para cualquier elemento $a$ en $S$ : $1.a=a$ )? Además, ¿puede $S$ ser un campo ordenado?

Answer 1

Los axiomas para un anillo ya implican que $0\cdot a=0$ para todos $a\in S$ así que tienes casi toda la tabla de multiplicar:

$$\begin{array}{c|cc} \cdot&0&1&2\\ \hline 0&0&0&0\\ 1&0&1&2\\ 2&0&2 \end{array}$$

Y $2$ tiene que tener un inverso multiplicativo, por lo que debemos tener $2\cdot 2=1$ .

Por adición tenemos automáticamente esta cantidad:

$$\begin{array}{c|cc} +&0&1&2\\ \hline 0&0&1&2\\ 1&1&&\\ 2&2& \end{array}$$

Ahora $1$ debe tener un inverso aditivo, por lo que o bien $1+1=0$ o $1+2=0$ . Supongamos que $1+1=0$ Entonces, ¿qué es $1+2$ ? Si $1+2=0$ entonces $1=1+0=1+(1+2)=(1+1)+2=0+2=2$ lo cual es absurdo. Si $1+2=1$ entonces $0=1+1=1+(1+2)=(1+1)+2=0+2=2$ lo que también es absurdo. Por lo tanto, $1+2=2$ . Pero sabemos que $2$ tiene un inverso aditivo $-2$ aunque aún no sepamos lo que es, así que $1=1+\big(1+(-2)\big)=(1+2)+(-2)=2+(-2)=0$ lo que también es imposible. Por lo tanto, $1+1$ no puede ser $0$ . Tampoco puede ser $1$ (¿por qué no?), por lo que debe ser $2$ y tenemos

$$\begin{array}{c|cc} +&0&1&2\\ \hline 0&0&1&2\\ 1&1&2&\\ 2&2& \end{array}$$

Claramente $2$ debe ser $-1$ dándonos

$$\begin{array}{c|cc} +&0&1&2\\ \hline 0&0&1&2\\ 1&1&2&0\\ 2&2&0 \end{array}$$

y no es difícil comprobar que $2+2$ ahora sólo puede ser $1$ .

Añadido: Por cierto, esto último puede reducirse prácticamente a nada si recordamos que hasta el isomorfismo sólo hay un grupo de orden $3$ , $\Bbb Z/3\Bbb Z$ que te da la tabla de sumas de inmediato.

Cómo ver que $S$ no puede ser un campo ordenado depende de cómo haya definido campo ordenado . Si lo has definido en términos de cono positivo, observa que $1+1=2=-1$ Así que $1$ no puede estar en el cono positivo: es cerrado bajo adición y nunca contiene un elemento distinto de cero y su inversa aditiva. Similarmente, $(-1)+(-1)=2+2=1$ Así que $-1$ tampoco puede estar en el cono positivo. Pero esto también es imposible: uno de ellos tiene estar en ella.

Si lo has definido en términos de una relación de orden, puedes obtener esencialmente las mismas contradicciones. Si $0<1$ entonces $1=0+1<1+1=2$ , $2=1+1<2+1=0$ así que por transitividad $0<0$ OOPS Un problema similar surge si $1<0$ .

Answer 2

Pista #1: El grupo aditivo tiene que ser abeliano para un campo, y sólo hay un grupo aditivo de orden $3$ . Entonces, ¿de qué manera se puede definir la multiplicación para que $1\not=0$ ? (obligatorio para un campo)?

Pista nº 2: (Orden) Sólo hay un número finito de elementos en tu grupo aditivo. Obtendrás tu contradicción de $1 \leq 2 \Rightarrow 1+1 = 2 \leq 2+1=0$ y argumentos similares.