Sé que la forma estándar de demostrar que el conjunto de todos los ordinales contables es incontable es afirmando que si el conjunto es contable, entonces incurre en la paradoja de Burali-Forti.
¿Hay alguna otra forma de demostrarlo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Michael Greinecker
Puntos
19016
El conjunto de todos los ordinales contables es el supremum de todos los ordinales contables, que no es más que sus uniones. Si $\omega_1$ eran contables, $\omega_1+1$ también sería contable y, por tanto $\omega_1+1<\omega_1$ . Por lo tanto $\omega_1\in\omega_1+1\in\omega_1$ lo que demuestra que el conjunto $\{\omega_1,\omega_1+1\}$ no tiene $\in$ -mínimo, lo cual es imposible ya que los ordinales están bien ordenados por $\in$ .
Trevor Wilson
Puntos
12994
Creo que todas las pruebas se parecerán en algo a la paradoja de Burali-Forti. Aquí hay una prueba que es ligeramente diferente de otras pruebas en este sitio, así que tal vez alguien lo encontrará útil. Nótese que el axioma de regularidad no se utiliza en ninguna parte.
Definición: Un ordinal es un conjunto transitivo bien ordenado por $\in$ .
Hecho: La clase de los ordinales es transitiva y bien ordenada por $\in$ .
Definición: $\omega_1$ es la clase de los ordinales contables.
Es un hecho: $\omega_1$ es un conjunto.
Para ver que $\omega_1$ es un ordinal utilizando los hechos anteriores, queda por observar que todo elemento de un ordinal contable es un subconjunto de ese ordinal y, por tanto, también es contable.
Ahora supongamos por contradicción que $\omega_1$ es contable. Entonces $\omega_1 \in \omega_1$ por definición. Esto contradice el hecho de que la clase de los ordinales está bien ordenada por $\in$ .
George Chen
Puntos
607
En Principia Mathematica Whitehead y Russell presentaron la paradoja de Burali-Forti en una forma que permite prescindir del axioma del infinito. Finalmente disiparon la paradoja demostrando que en los tipos superiores hay ordinales mayores que los que se encuentran en los tipos inferiores.
La paradoja:
Sea $\alpha$ es un número ordinal cualquiera, entonces el número ordinal de $0_r, 1_s, 2_r, 3_r, ... \alpha$ en orden de magnitud es $\alpha + \overset{.}{1}$ Así pues $\alpha +\overset{.}{1}$ existe, y es mayor que $\alpha$ . Pero $\alpha$ es similar al segmento de series de ordinales formado por los predecesores de $\alpha$ y, por tanto, es menor que el ordinal de todos los ordinales. Por tanto, el ordinal de todos los ordinales es mayor que cada ordinal, incluido él mismo, lo cual es absurdo.
Para disipar la paradoja, sólo es necesario explicitar los tipos. Sea $N$ sea la serie de todos los ordinales ordenados por magnitud; cuando decimos " $P$ está bien ordenado $\Rightarrow$ $P$ es inferior a $N$ entendemos por $N$ , una serie dos tipos por encima $P$ es decir $N$ pertenecen al tipo de $P$ ( $t‘N_0r‘P$ ). En otras palabras:
$P$ está bien ordenado $\Rightarrow$ $P \lt N(P,P)$
De donde $N(P,P)$ está bien ordenado $\Rightarrow N(P,P)\lt N\{N(P,P),N(P,P)\}$
Por lo tanto, N ya no es menor que sí mismo, y la paradoja desaparece.
Fuente: Whitehead & Russell, Principia Mathematica V.3. ✳256. Libros Mercantiles, 1913
