Calcular el pullback de una función

Question

Encontré el siguiente ejercicio en un libro que me regalaron, pero no encuentro la solución ni la respuesta. Por eso estoy aquí buscando vuestra ayuda. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Teniendo en cuenta lo siguiente $1$ -Formulario $$ en $V := \mathbb{R}^2$ \ ${(0, 0)}:$

$$_{(x,y)} = \frac{e^y[(y \cos x + x \sin x) dx + (y \sin x x \cos x) dy]}{(x^2 + y^2)}$$

Sea $a > 0$ sea un parámetro dado. ¿Cómo puedo calcular el pullback $g^_r\omega$ según la correspondencia $g_r : \mathbb{R} V$ , $$g_r() = (r\cos , a \sin )$$ ?

Answer 1

Pista: Si escribe $$\omega = f\ \mathrm dx+g\ \mathrm dy$$ para funciones apropiadas $f,g: V\to\mathbb R$ entonces (véase la fórmula (7) del capítulo 13.2 del libro Análisis 2 de Konrad Königsberger, 2002),

$$g_r^* \omega = f\circ g_r \ \mathrm d(g_r^1)+g\circ g_r \ \mathrm d(g_r^2),$$ es decir $$(g_r^*\omega)(\phi) = f(r\cos\phi, r\sin\phi) \mathrm d(\phi\mapsto r\cos\phi) + g(r\cos\phi,r\sin\phi) \mathrm d(\phi\mapsto r\sin\phi).$$ ¿Puedes terminar desde aquí?

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Un poco más de ayuda:

Tenemos la fórmula para el diferencial total (véase la fórmula (11.11) de John Lee, Introducción a los colectores lisos , 2012): $$\mathrm dh = \sum_{i=1}^n \frac{\partial h}{\partial x^i}\mathrm dx^i.$$ En nuestro caso, dejemos que $r\in]0,\infty[$ sea fijo y que $g_r=(g_r^1,g_r^2):\mathbb R \to V, \phi\mapsto (r\cos\phi,r\sin\phi)$ . Entonces $$\mathrm dg_r^1 =\frac{\partial g_r^1}{\partial\phi}\mathrm d\phi = -r\sin(\phi)\,\mathrm d\phi.$$ Dejaré que hagas tú mismo el resto de los cálculos.

Answer 2

Usted tiene la $1-$ formulario en $V:=\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}$ , $$(x,y) = \frac{e^y[(y \cos x + x \sin x) dx + (y \sin x x \cos x) dy]}{(x^2 + y^2)}$$ y queremos calcular el pullback a través de $g_r:\mathbb R\to V$ por lo que, suponiendo $x^j$ como coordenadas del subconjunto abierto $V$ tenemos $$g_r^*\bigg(\sum_{j=1}^2\omega_jdx^j\bigg)=(\omega_j\circ g_r)d(x^j\circ g_r)=\\\dfrac{e^{a\sin\phi}[(a\sin\phi\cos(r\cos\phi))+r\cos\phi\sin(r\cos\phi))d(r\cos\phi)+(a\sin\phi\sin(r\cos\phi)-r\cos\phi\cos(r\cos\phi)d(a\sin\phi)]}{(r^2\cos^2\phi+a^2\sin^2\phi)}$$ donde $x^j$ son funciones de la forma $x^j:V\to\mathbb R$ (actúan como una proyección sobre el $j$ -componente) y $dg_r(r,\phi)=\dfrac{\partial g_r^j(\phi)}{\partial \phi}d\phi$ .