Para un anillo $R$ con un único ideal propio $I$ demuestre que $I$ es primo

Question

Sea $R$ sea un anillo con un único ideal propio $I$ . Necesito probar que $I$ es primo, pero todo lo que tengo a mi disposición para hacerlo son las definiciones de ideales primos y maximales como se indica a continuación:

• Un ideal $I$ de un anillo $R$ es prime si $I \neq R$ y se cumple la siguiente condición: para todos los ideales $J_{1}$ , $J_{2}$ de $R$ si $J_{1}J_{2} \subseteq I$ entonces $J_{1} \subseteq I$ o $J_{2} \subseteq I$ .
• Un ideal $I$ de $R$ es máximo si $I \neq R$ y no existe un ideal propio de $R$ que contiene $I$ (es decir, si $J$ es un ideal de $R$ conteniendo adecuadamente $I$ entonces $J = R$ ).

$R$ no es necesariamente conmutativa, no tiene necesariamente unidad, así que no puedo asumir ninguna de esas cosas en mi prueba.

Este es mi intento:

Supongamos que $R$ es un anillo con un único ideal propio $I$ . Entonces, como no existe un ideal propio $J$ de $R$ que contiene $I$ , $I$ es máxima.

Ahora bien, los únicos ideales contenidos en $I$ son el ideal cero $\{0\}$ y $I$ mismo. Así, para cualquier $J_{1}$ de $R$ tal que si $J_{2} = \{0\}$ tenemos que $J_{1}J_{2} = J_{1}\{0\} = \{0\} \subseteq I$ entonces $J_{2} = \{0\} \subseteq I$ . Además, para cualquier $J_{1}$ de $R$ tal que si $J_{2}=I$ tenemos que $J_{1}J_{2}=J_{1}I \subseteq I$ entonces $J_{2}=I \subseteq I$ . (Sin embargo, las únicas opciones para $J_{1}$ en ambos casos son $\{0\}$ o $I$ para que $J_{1}J_{2} \subseteq I$ ). Por lo tanto, $I$ es primo.

¿Esto es todo? Parece tan tonto...

Si no es así, ¿cómo debo demostrarlo?

Gracias, señor,

Answer 1

Creo que la propiedad no se cumple si $R$ no se supone que tenga una unidad.

De hecho, toma $p$ sea su número primo favorito, y considere el ideal $R = p\mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}$ que es un anillo sin unidad. Sus ideales son precisamente los ideales de $\mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}$ que figuran en $p\mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}$ . Pero cualquier ideal de $\mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}$ es de la forma $k\mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}$ donde $k\mid p^3$ . Por tanto, cualquier ideal de $R$ será de la forma $k\mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}$ donde $p\mid k\mid p^3$ .

Ahora bien, para que sea adecuado debemos tener $p<k<p^3$ y, por tanto $k=p^2$ . Así que $R$ verifica la suposición : sólo tiene un ideal propio $I$ . Sin embargo este ideal propio no es primo, de hecho denotando $\overline{x}$ la clase de $x$ mod $p^3$ se tiene $\overline{p}\times \overline{p} \in I$ pero $\overline{p}\notin I$ .

Así que la prueba del charrán ártico funciona cuando $R$ tiene una unidad, pero la propiedad no es verdadera si $R$ no tiene unidad.

Answer 2

No estoy seguro de qué es lo que pretende con su argumento. Usted parece estar mostrando que si $J_2$ se encuentra en $I$ entonces está contenido en $I$ lo cual es tautológicamente cierto y no es lo que se supone que estás mostrando.

Quieres demostrar

$$ J_1J_2\subseteq I \implies (J_1\subseteq I ~\textrm{ or }~ J_2\subseteq I).$$

Esto es equivalente al contrapositivo

$$ (J_1\not\subseteq I ~\textrm { and }~ J_2\not\subseteq I)\implies J_1J_2\not\subseteq I.$$

En su caso, el único ideal que no figura en $I$ es $R$ en cuyo caso $J_1\not\subseteq I$ es equivalente a $J_1=R$ y del mismo modo $J_2\not\subseteq I$ es equivalente a $J_2=R$ y así $J_1J_2=R\not\subseteq I$ según se desee.