Sea $M$ un colector compacto, $N$ un colector conexo y $f\colon M\longrightarrow N$ una función inyectiva étale. ¿Por qué $f$ es un difeomorfismo?
Sé que desde $M$ es compacto, $f(M)$ también será compacto, pero no sé por qué si $N$ está conectado, obtendré el difeomorfismo.
Una función etale es un difeomorfismo local. Si $N$ está conectado, $f$ es suryectiva: para ver esto obsérvese que la imagen de $f$ es un subespacio cerrado ya que $M$ es compacto, $f(M)$ es compacto. También es abierto, ya que $f$ es un difeomorfismo local. Por lo tanto, es una unión de componentes conectadas de $N$ por lo que es $N$ desde $N$ está conectado. Un difeomorfismo local que es biyectivo es un difeomorfismo.
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