Hatcher, producto tensorial de haces vectoriales : topología explicada

Question

Así que esto es un resumen de la construcción dada en pg14 de Hatchers del tensor de dos haces vectoriales:

Sea $p_1:E _1 \rightarrow B$ y $p_2 : E_2 \rightarrow B$ . Definimos $E_1 \otimes E_2$ como la unión disjunta de los espacios vectoriales $p^{-1}(\chi) \otimes p_2^{-1}(\chi)$ para $\chi \in B$ con la siguiente topología:

Tomamos una cubierta abierta de $B$ sobre la que ambos haces iniciales son triviales. Elige hoemomofismos, $$h_i:p_i^{-1}(U) \rightarrow U \times \mathbb{R}^{n_i}$$ para cada conjunto abierto $U$ en dicha cubierta. La topología en $\tau_U$ en el plató $p_1^{-1}(U) \otimes p_2^{-1}(U)$ se define dejando que el mapa producto tensor $$h_1 \otimes h_2: p^{-1}_1(U) \otimes p_2^{-1}(U) \rightarrow U \times (\mathbb{R}^{n_1} \otimes \mathbb{R}^{n_2})$$

Estoy confundido con lo que se quiere decir exactamente aquí. Entonces, ¿cuál es la topología en $E_1 \otimes E_2$ ? Supongo que se trata de la topología colímite de la cubierta abierta.

Answer 1

Tienes razón. Ese es el procedimiento habitual para topologizar un "haz" sobre un espacio base $B$ que viene dado por asociar a cada $b \in B$ un espacio vectorial $E_b$ . Defina $E= \bigcup_{b \in B} \{ b\} \times E_b$ = unión disjunta de las fibras $E_b$ y $p : E \to B, p(b,e_b) = b$ . Suponga que tiene una cubierta abierta $\mathcal{U}$ de $B$ y para cada $U \in \mathcal{U}$ un "isomorfismo de haz algebraico" $h_U : p^{-1}(U) \to U \times \mathbb{R}^n$ (es decir, $h_U(b,e_b) = (b, \phi_U^b(e_b))$ con isomorfismo lineal $\phi_U^b : E_b \to \mathbb{R}^n$ , $b \in U$ ). Si se cumplen las condiciones obvias de compatibilidad (las funciones de transición entre los "gráficos de paquetes" $h_U$ tienen que ser homeomorfismos), entonces se puede topologizar $E$ por

(1) dando a cada uno $p^{-1}(U)$ la topología única que hace $h_U$ un homeomorfismo

(2) dar $E$ la topología colímite de la cubierta $p^{-1}(U)$ , $U \in \mathcal{U}$ .

En su caso, la situación es la siguiente cualquier dos cartas de haces (topológicos) $h_i : p_i^{-1}(U) \to U \times \mathbb{R}^{n_i}$ proporcionan un isomorfismo de haz algebraico $h_1 \otimes h_2: p^{-1}_1(U) \otimes p_2^{-1}(U) \rightarrow U \times (\mathbb{R}^{n_1} \otimes \mathbb{R}^{n_2})$ . Hay que comprobar la compatibilidad y listo.