Demuestra que $\operatorname{spec}(K[x_1,\dots,x_n])=\cup_{L/K}\operatorname{Im}(\psi_L)$ donde $\psi_F(a)=\ker(f\mapsto f(a))$

Question

Sea $K\subseteq F$ sea una extensión de campo. $\forall a\in F^n$ deje $\phi_a:K[x_1,\dots,x_n]\to F$ definido por $f\mapsto f(a)$ . Sea $\psi_F:F^n\to\text{spec}(K[x_1,\dots,x_n]) $ definido por $a\mapsto \ker(\phi_a)$ . Prueba $$A:=\text{spec}(K[x_1,\dots,x_n])=\cup_{L/K}\text{Im}(\psi_L)=:B$$

Intento:

He demostrado que $\psi _a$ es inyectiva.

Obviamente $B\subseteq A$ . Queremos mostrar $A\subseteq B$ .

Sea $p\in A$ . Deseamos encontrar un $a$ s.t. $p=\{f\in K[x_1,\dots,x_n]:f(a)=0\}$ . Pensé en definir $$T:=\{a: \exists f\in p, 0=f(a)\}\ne\emptyset, \\ S:=\{a:\forall f\in p,0=f(a)\} $$ Quiero demostrar que $S\ne\emptyset$ , Gracias.

Answer 1

Sea $\mathfrak{p}\in \text{Spec}(K[x_1,\dots,x_n])$ entonces $R=K[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak{p}$ es un dominio integral. Sea $L$ sea el campo de fracciones de $R$ tenemos: $$K[x_1,\dots,x_n]\to R\hookrightarrow L$$ Por lo tanto $L$ es una extensión de campo de $K$ . Sea $a_1,\dots,a_n$ sean las imágenes de $x_1,\dots,x_n$ mediante el mapa de composición $K[x_1,\dots,x_n]\to L$ el elemento $a=(a_1,\dots,a_n)\in L^n$ nos da lo que necesitamos. En efecto, el mapa $K[x_1,\dots,x_n]\to L$ arriba es $\phi_a$ y $$\text{Ker}(\phi_a)=\text{Ker}(K[x_1,\dots,x_n]\to R)=\mathfrak{p}$$ Ahora $\mathfrak{p}=\psi_L(a)\in \text{Im}(\psi_L)$ .