Solución positiva para una ecuación exponencial

Question

Definir una función de $t$ , $F(t) = e^{X_1t}-e^{X_2t}-e^{X_3t}+e^{X_4t},$ para algunos valores reales fijos $X_1, X_2, X_3, X_4 \in \mathbb{R}$ y $X_1<X_2 < X_3 < X_4$ . Si $F(t)$ tiene como máximo una solución positiva o no.

Answer 1

$$\begin{align} f(t) &= \exp(x_1t)-\exp(x_2t)-\exp(x_3t)+\exp(x_4t) \tag{1}\label{1} ,\\ &x_1, x_2, x_3, x_4 \in \mathbb{R} \text{ and } x_1 < x_2 < x_3 < x_4 . \end{align}$$

Sólo uno de los ejemplos adecuados:

deje $x_1=-\tfrac2{100},x_2=0,x_3=\tfrac1{100},x_4=\tfrac2{100}$ y $y=\exp(\tfrac t{100})$ .

Entonces \eqref {1} es equivalente a la ecuación $$\begin{align} y^{-2}-y^0-y+y^2&=0 ,\\ y^4-y^3-y^2+1&=0 ,\\ y^3(y-1)-(y+1)(y-1)&=0 ,\\ (y-1)(y^3-y-1)&=0 \tag{2}\label{2} . \end{align}$$

Ignorar la solución $y=1$ Eso es, $t=0$ , ya que $f(0)=0$ es cierto para cualquier $x_1, x_2, x_3, x_4 \in \mathbb{R}$ , el término cúbico $y^3-y-1$ en \eqref {2} sólo tiene una raíz real

$$\begin{align} y_r&=\tfrac16\sqrt[3]{108+12\sqrt{69}} +\frac{2}{\sqrt[3]{108+12\sqrt{69}}} ,\\ t_r&=100\ln y_r\approx 28.1 . \end{align}$$