¿Por qué es aceptable realizar la división sintética de polinomios cuando uno puede ser cero? ${}$

Question

Se trata, pues, de un problema típico de las ecuaciones cuadráticas. Consideremos una como ejemplo:

Si $x=3 +\sqrt 5$ entonces encuentra $x^4 -12x^3 +44x^2 -48x +17$ .

La solución es bastante sencilla y se plantea un enfoque similar en otro problema de números complejos. Ciertamente procedemos elevando al cuadrado $x=3 +\sqrt 5$ alcanzar $x^2 -6x +4 =0$ .

Entonces por Algoritmo de División/División Sintética llegamos a lo siguiente: $x^4 -12x^3 +44x^2 -48x +17 = (x^2 -6x +4)(x^2 -6x +4) + 1$ .

Pero como $x^2 -6x +4 = 0$ entonces la expresión anterior se reduce a 1, esa es la respuesta.

Pero recordamos la fórmula anterior como Dividendo = Divisor $\times$ Cociente + Resto. Ahora el Divisor ( $x^2 -6x +4$ en este caso) ${} = 0$ ¿cómo es que podemos dividir algo por cero ( $0$ )? Perdonadme si me equivoco, soy nuevo en el mundo de los intercambios. Por favor, dígame cómo insertar símbolos matemáticos en la pregunta.

Gracias

Answer 1

Sea $f(x) = x^4 -12*x^3 +44*x^2 -48*x +17.$

Sea $\displaystyle g(x) = x- \left(3 +\sqrt{5}\right).$

Sea $h(x) = [g(x)]^2.$

Al dividir $f(x)$ por $h(x)$ eres no evaluar la función $f(x)$ para cualquier valor de $(x)$ o evaluar $h(x)$ para cualquier valor de $(x)$ .

En su lugar, está tratando $f(x)$ y $h(x)$ como funciones polinómicas que son cada uno miembros del campo de tales funciones polinómicas (de grado finito), donde cada coeficiente de la función correspondiente es un número Real.

Esto es totalmente diferente a realizar la evaluación de una o más de las funciones polinómicas en valores específicos de $(x)$ y, a continuación, realizar una división, basándose en dicha evaluación.

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Un ejemplo mucho más sencillo,

deje $j(x) = x-1$ y que $k(x) = x^2 - 3x + 2.$

Entonces $j(x)$ es un factor de $k(x)$ aunque $j(1) = 0 = k(1).$

Answer 2

Estás haciendo una división larga polinómica, y mientras que el divisor cuadrático puede ser cero en $x=3+\sqrt5$ es no cero en general, por lo que no hay que preocuparse por la división por cero.

La división larga polinómica sólo realiza divisiones aritméticas reales en el campo de coeficientes no el anillo de polinomios. Las sucesivas reducciones de grado del dividendo son una secuencia de multiplicaciones por potencias de $x$ y restas, que no impliquen divisiones. (De ahí el nombre alternativo de "división euclidiana").

Answer 3

Existe un conjunto de fracciones algebraicas llamado $\Bbb R(x)$ que, a grandes rasgos, es el conjunto de cocientes de polinomios $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ donde consideramos $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{P'(x)}{Q'(x)}$ cuando $P(x)Q'(x)=P'(x)Q(x)$ . (El símbolo $'$ no tiene nada que ver aquí con los derivados).

En este conjunto $x$ no es un número, sólo un símbolo. Es posible que $Q$ divide $P$ y en este caso $\dfrac{P(x)/Q(x)}{1}=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ al igual que consideramos la fracción $\dfrac 62$ igual al número entero $3$ .

Por otro lado, tenemos funciones racionales que son cocientes de funciones polinómicas.

Por ejemplo, la función $$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\text{ for }x\neq 1$$ es una función racional que no está definida ad $x=1$ porque el denominador se convierte en $0$ para ese valor. Y la función $$\tilde f(x)=x+1\text{ for }x\in\Bbb R$$ es una función polinómica y su dominio es $\Bbb R$ .

Dado que las expresiones de las funciones, como fracciones algebraicas, son equivalentes, $f(a)=\tilde f(a)$ para $a\neq 1$ pero para $a=1$ , $f(1)$ no está definido, pero $\tilde f(1)=2$

En resumen, como fracciones algebraicas $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ y $x+1$ son los mismos, pero como funciones, $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ y $\tilde f(x)=x+1$ no lo son.