¿La aditividad de $ f_1(x)g_1(y) + f_2(x)g_2(y)$ nos dice algo sobre $f_1, f_2$ ?

Question

Sea $f_1, f_2, g_1, g_2$ sean funciones reales continuas no constantes, tales que $ f_1(x)g_1(y) + f_2(x)g_2(y) $ es aditivo en $x,y$ es decir, existen funciones $f,g$ tal que $$ f_1(x)g_1(y) + f_2(x)g_2(y) = f(x) + g(y), \forall x,y\in\mathbb{R}. $$

¿Qué implica para $f_1, \dots, g_2$ ? ¿Es cierto que $f_1(x) = af_2(x)+b$ para algunos $a,b\in\mathbb{R}$ ?

¿Y en el caso de que tengamos $n$ pares de funciones, es decir, cuando $ f_1(x)g_1(y) + \dots + f_n(x)g_n(y) $ ¿es aditivo?

Answer 1

$$ f_1(x)g_1(y) + f_2(x)g_2(y) = f(x) + g(y), \forall x,y\in\mathbb{R}. $$ Ponga $y=0$ . Tenemos $$ f_1(x)g_1(0) + f_2(x)g_2(0) = f(x) + g(0), \forall x,y\in\mathbb{R}. $$ Por lo tanto $$ f_1(x)(g_1(y)- g_1(0))+ f_2(x)(g_2(y)-g_2(0)) = g(y)-g(0), \forall x,y\in\mathbb{R}.$$ Supongamos que $g_1(y_0) \ne g_1(0)$ (tales como $y_0$ existe porque $g_1$ no es constante) y poner $y=y_0$ . Tenemos $$ c_1 f_1(x) + c_2f_2(x) = c_3 $$ donde $c_1 \ne 0$ como querías.

También obtenemos que $$ d_1 g_1(x) + d_2g_2(x) = d_3, \quad d_1 \ne 0$$ con un argumento similar.

Si el número de pares $n > 2$ entonces $\sum_{i=1}^n c_i f_i(x) = C$ y $\sum_{i=1}^n d_i g_i(x) = D$ .