Actualmente estoy leyendo el artículo de Jean Bourgain de 1986 Un teorema de tipo Szemerédi para conjuntos de densidad positiva en $R^k$ y agradecería que me ayudaran a entender una estimación analítica de Fourier utilizada en ese artículo. Sospecho que mi pregunta es relativamente elemental, pero mis conocimientos de análisis de Fourier no son muy sólidos y en mi actual lugar de trabajo no hay expertos en el tema, así que agradecería mucho que me indicaran algo.
En el argumento de Bourgain, $f \colon \mathbb{R}^d \to [0,1]$ es una función medible no nula soportada en un conjunto fijo medible acotado $A$ y el $L^2$ norma de $f$ es fijo. Para cada $\lambda>0$ definimos $P_\lambda \colon \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ es la función cuya transformada de Fourier $\hat{P}_\lambda(\xi):=\int_{\mathbb{R}^d} e^{-2\pi i \langle x,\xi\rangle} P_\lambda(x)dx$ viene dado por $\hat{P}_\lambda(\xi)=e^{-\lambda\|\xi\|}$ para todos $\xi \in \mathbb{R}^d$ . Parámetros $\delta, t>0$ y el parámetro $\delta$ se fija posteriormente en un valor pequeño que depende de $\|f\|_2$ (y posiblemente en $A$ ) pero no en la elección precisa de $f$ . Se afirma entonces que al tomar $t$ suficientemente pequeña, la cantidad $$\|(f * P_{\delta t}) - (f * P_{\delta^{-1}t})\|_2$$ puede hacerse arbitrariamente pequeño de manera uniforme con respecto a $f$ . Para mí está claro que esta cantidad debe converger a cero a medida que $t \to 0$ cuando $\delta$ y $f$ son fijos, pero no me queda claro por qué un único valor $t$ que funcione simultáneamente para todos los $f$ (donde $\|f\|_2$ es fijo y el soporte de $f$ se encuentra en $A$ ). El documento de Bourgain parece utilizar un límite cuantitativo que deduzco que se parece a $$\|(f * P_{\delta t}) - (f * P_{\delta^{-1}t})\|_2 \leq C\|f\|_2\frac{\log (1/\delta)}{\log (1/t)}.$$ Ciertamente, se afirma que para que la diferencia anterior sea pequeña (en relación con $\delta^{1/4}$ y $\|f\|_2$ ) basta con que $\log (1/t)$ debe ser un múltiplo grande de $\log (1/\delta)$ . ¿Puede alguien ver con más precisión qué estimación se está utilizando aquí, o al menos cómo se puede acotar uniformemente la cantidad anterior con respecto a $f$ ?
Gracias.
