Si $f$ tiene una singularidad esencial en $P$ entonces para $(z-P)^m f(z)$ tiene también una singularidad esencial.

Question

Demostrar que si una función $f$ es holomorfa en $D(P,r) \setminus \{P\}$ y tiene una singularidad esencial en $P$ para cualquier número entero $m$ la función $(z-P)^m f(z)$ tiene una singularidad esencial en $P$ .

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Mi estrategia, $f$ tiene una singularidad esencial en $P$ significa $\lim_{z \rightarrow P}f(z)$ no está bien definido. Para mostrar $(z-P)^m f(z)$ tiene una singularidad esencial en $P$ Quiero mostrar $\lim_{z \rightarrow \infty} (z-P)^m f(z)$ tampoco está bien definido.

Pero no estoy seguro de si $\lim_{z \rightarrow P}f(z)$ no está bien definido, entonces $\lim_{z \rightarrow \infty} (z-P)^m f(z)$ para cualquier número entero $m$ .

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

En una singularidad esencial, la serie de Laurent de $f$ centrado en $P$ tiene infinitos términos negativos distintos de cero $$ f = \sum_{j=-\infty}^\infty a_j (z-P)^j \qquad (z - P)^m f = \sum_{j=-\infty}^\infty a_{j-m} (z-P)^j $$ así que $(z - P)^m f$ tiene infinitos términos negativos distintos de cero en $P$ también, por lo que tiene una singularidad esencial.