Convergencia uniforme e integración incorrecta

Question

Sea $g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ y $f_n:(0,\infty)\to\mathbb{R}, n\ge 1$ sean funciones integrables sobre $[a,b]$ para cualquier $0<a<b<\infty$ . Supongamos también que

(1) $|f_n(x)| < g(x)$ para todos $x>0$ y $n\ge 1$ ;

(2) $f_n\to f$ uniformemente sobre cada intervalo compacto contenido en $(0,\infty)$ ;

(3) $\int_0^{\infty}g(x)dx < \infty$ .

Demuestra que $$ \lim_{n\to\infty}\int_0^{\infty}f_n(x)dx = \int_0^{\infty}f(x)dx. $$

De (1) y (3) obtenemos que cada $\int_0^{\infty}f_n(x)dx$ y $\int_0^{\infty}f(x)dx$ converge. Y de (2) se deduce que $$ \int_0^r f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\int_0^rf_n(x)dx, $$ para todos $r>0$ . Tomando $r\to\infty$ , $$ \lim_{r\to\infty}\int_0^r f(x)dx = \lim_{r\to\infty}\lim_{n\to\infty}\int_0^rf_n(x)dx, $$ así que la pregunta es si podemos intercambiar los límites en el RHS de la última ecuación, pero no sé qué usar aquí. Cualquier pista es apreciada.

Answer 1

La gran pista que permite intercambiar los límites, es que $$\int_0^\infty g<\infty,$$ y $|f_n(x)|<g(x)$ para todos $x>0$ y $n\in\mathbb{N}$ . Esto nos permite concluir que para todo $r>0$ suficientemente grande $$\left|\int_r^\infty f_n(x)\right|\leq\int_r^\infty|f_n(x)|\leq\int_r^\infty g.$$ Así que si $\epsilon>0$ podemos elegir $r$ tan grande que para todos $n$ tenemos $$\left|\int_r^\infty f\right|,\left|\int_r^\infty f_n\right|<\epsilon.$$ Entonces $$\left|\int_0^\infty f-\int_0^\infty f_n\right|\leq \left|\int_0^rf-\int_0^rf_n\right|+2\epsilon.$$ Así que podemos elegir $n$ suficientemente grande para obtener $$\left|\int_0^\infty f-\int_0^\infty f_n\right|\leq 3\epsilon.$$ Así $$\lim_{r\to\infty}\int_0^rf=\lim_{r\to\infty}\lim_{n\to\infty}\int_0^rf_n.$$