¿Alguna solución a esta ecuación funcional?

Question

¿Existe alguna solución para esta ecuación funcional?

$$f(x) = f(x-1)-f(x+1)-ix^3f(x)$$

No estoy familiarizado con las ecuaciones funcionales y no tengo ni idea de por dónde empezar. Todo lo que puedo decir es que $f(0) = f(-1)-f(1)$ .

Wolfram alfa da una relación de recurrencia para $f(n), n\in \mathbb{N}$ siempre que sepamos $f(0),f(1)$ .

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Pista:

Toma transformada inversa de Mellin :

$\mathcal{M}^{-1}_{x\to s}\left\{f(x)\right\}=\mathcal{M}^{-1}_{x\to s}\left\{f(x-1)\right\}-\mathcal{M}^{-1}_{x\to s}\left\{f(x+1)\right\}-\mathcal{M}^{-1}_{x\to s}\left\{ix^3f(x)\right\}$

$F(s)=\left(\dfrac{1}{s}-s\right)F(s)+i\left(s\dfrac{d}{ds}\right)^3F(s)$

Que se convierte en una EDO de tercer orden