Sea $f: {\bf Q} \rightarrow {\bf Q}$ ser un " ${\bf Q}$ -diferenciable" cuya función " ${\bf Q}$ -derivada" es constantemente cero; es decir, para todo $x \in {\bf Q}$ y todos $\epsilon > 0$ en ${\bf Q}$ existe $\delta > 0$ en ${\bf Q}$ tal que para todo $y \in {\bf Q}$ con $0 < |x-y| < \delta$ , $|(f(y)-f(x))/(y-x)| < \epsilon$ .
Un ejemplo de este tipo de función es la función de 2 valores sobre ${\bf Q}$ que toma el valor 0 o 1 en función de si $x<\pi$ o $x>\pi$ .
Debe $f$ sea localmente constante, en el sentido de que para todo $x \in {\bf Q}$ existe $\delta > 0$ en ${\bf Q}$ tal que para todo $y \in {\bf Q}$ con $|x-y| < \delta$ , $f(y)=f(x)$ ?
Tengo la sensación de que no se trata de un problema difícil (¡e incluso temo que algunos de ustedes piensen que es un problema de deberes!), pero en realidad surgió de mi investigación (véase http://jamespropp.org/reverse.pdf ), y tras una hora de reflexión sigo sin ver la respuesta. En un mundo ideal lo meditaría más tiempo antes de publicarlo, pero como la revista a la que he enviado el trabajo me ha dado un plazo para hacer las revisiones, y el plazo se acerca, me trago mi orgullo y busco ayuda.
