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¿Cuál es la definición "correcta" de creación de límites?

Existen varias definiciones de lo que significa para un functor $F$ para crear límites de un tipo determinado.

Ahí está la definición en el CWM de MacLane:

Definición 1: Un functor $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ crea límites de tipo $J$ si para cada diagrama $D\in \mathcal{C}^J$ tal que $FD$ tiene un límite, existe un cono único $k$ para $D$ tal que su imagen a través de $F$ es el límite de $FD$ y además $k$ es el límite de $D$ .

Existe la definición en el nLab :

Definición 2: Un functor $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ crea límites de tipo $J$ si para cada diagrama $D\in \mathcal{C}^J$ tal que $FD$ tiene un límite, tenemos que $D$ tiene un límite, y además $F$ conserva y refleja los límites.

También está la definición en los apuntes de teoría de categorías de un curso impartido por Eugenia Cheng:

Definición 3: Un functor $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ crea límites de tipo $J$ si para cada diagrama $D\in \mathcal{C}^J$ tal que $FD$ tiene un límite, existe un cono para $D$ tal que su imagen a través de $F$ es el límite de $FD$ y además $F$ refleja los límites.

¿Cuáles son las ventajas o desventajas de uno sobre el otro? Seguramente hubo algo que motivó las definiciones modernas (2 y 3) para cambiar la definición antigua (1)

Soy consciente del comentario sobre el Página de nLab sobre la creación de límites : que probablemente responde por qué la necesidad de una nueva definición. Sin embargo, un functor que satisface la definición 2 también satisface la definición 3, pero no veo por qué un functor que satisface la definición 3 debería preservar los límites. Así que la pregunta sigue siendo: ¿por qué preferir la definición 2 a la definición 3 o viceversa?

14voto

mingalevme Puntos 146

Acabo de tropezar con el mismo problema y sugiero la siguiente solución:

Las tres definiciones pueden formularse con arreglo a la terminología siguiente:

Sea $F:A \to B$ sea un functor, $D:J \to A$ un diagrama en $A$ y $L$ un cono de $D$ .

Nosotros decimos $F$

  1. preserva los límites de $D$ si: $\quad L$ es un cono límite $\Rightarrow$ $FL$ es un cono límite

  2. refleja los límites de $D$ si: $\quad FL$ es un cono límite $\Rightarrow$ $L$ es un cono límite

  3. refleja la existencia de límites de $D$ si: $\quad FD$ tiene un cono límite $ \; \Rightarrow \;$ $D$ tiene un cono límite.

  4. levanta los límites de $D$ si: $\quad$ Cualquier cono límite de $FD$ es la imagen de un cono límite de $D$ .

Debe quedar claro lo que significa la terminología respectiva, si sustituimos "límites de $D$ " con "límites de forma $J$ " o "todos los límites".

1.,2. y 4. son sólo las definiciones del nlab, y 3. parece bastante natural. Por supuesto, se podría introducir de forma análoga a 3. la "preservación de la existencia de límites", pero esto no es necesario para responder a la pregunta.

Ni $2 \Rightarrow 3 $ ni $3 \Rightarrow 2 $ es en general cierto.

Es cierto que $4 \Rightarrow 3$ pero la dirección opuesta es errónea.

Ahora $F$ crea límites significa según

  • Definición 1: $F$ levanta límites, y la elevación es única incluso como cono puro.

  • Definición 2: $F$ preserva y refleja los límites y refleja la existencia de límites.

  • Definición 3: $F$ refleja y levanta los límites.

9voto

Vipul Sharma Puntos 9

Definición. Sea $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ sea un functor, con $S:\mathcal{I}\to\mathcal{C}$ un diagrama de forma $\mathcal{I}$ en $\mathcal{C}$ . Decimos que $F$ crea el límite de $S$ si $F\circ S$ tener un límite $$\pi':\Delta L'\Rightarrow F\circ S$$ en $\mathcal{D}$ implica que existe un único (hasta iso) fuente $$\hat L=\{\pi_I:L\to S(I)\}_{I\in{\bf Ob}_\mathcal{I}}$$ en $\mathcal{C}$ tal que $$F(\hat L)\cong\pi'$$ como conos, y además que $\pi:\Delta L\Rightarrow S$ es un límite de $S$ en $\mathcal{C}$ . Decimos que $F$ crea límites de forma $\mathcal{I}$ si $F$ crea el límite de todos los functores $S:\mathcal{I}\to\mathcal{C}$ y que $F$ crea límites si $F$ crea límites de forma $\mathcal{I}$ para todas las categorías "pequeñas $\mathcal{I}$ .

Esta definición es muy similar a la que se encuentra en La alegría de los gatos por Adamek, Herrlich y Strecker (p. 227 definición 13.17), pero exigían unicidad en la nariz para $\hat L$ y que $F(\hat L)=\pi'$ .

La discusión y los lemas de su libro posteriores a su definición establecen que implica todos los demás tipos de "cosas que se desea que un functor haga con los límites" (véase el diagrama de la observación 13.38, p. 232, reproducido a continuación), con la excepción de la preservación. La definición anterior también implica todo el buen comportamiento que se podría pedir (excepto la preservación), y es "respetada por equivalencia" mejor que la de JoC, ya que no hace referencia a la unicidad en la nariz o la igualdad --. ~~ las equivalencias crean límites en ambos sentidos de la definición, aunque ~~ .

EDITAR : A menos que me equivoque, su definición es satisfecha por los functores olvidadizos que enumera pero no equivalencias, ya que $\hat L$ sólo es único hasta iso y sólo tenemos $F(\hat L)\cong\pi'$ para la fuente obvia $\hat L$ correspondiente a $\pi'$ por la subjetividad esencial seguida de la plenitud. En consecuencia, parece que esta definición es mejor que la de JoC, ya que se satisface mediante equivalencias que ciertamente deberían "crear límites", independientemente de cómo definamos el término.

Yo diría que el entramado de buenas implicaciones anteriores (que incluye propiedades enumeradas explícitamente en las definiciones a las que usted hace referencia) hace que ambas versiones de esta definición sean más satisfactorias que las otras opciones disponibles. Sin embargo, esta definición no implica la preservación de los límites, por lo que si la preservación de los límites coincide con nuestra intuición de lo que debería significar "crear un límite", deberíamos añadir que $F$ preserva los límites de la definición anterior.

Como nota, la sutil diferencia entre la definición de Adamek, Herrlich y Strecker y la mayoría de las otras definiciones encontradas es que no imponemos a-priori las condiciones de coherencia del cono sobre la fuente en el dominio cuando afirmamos que es única; debe ser única como fuente, no como cono. A continuación, "creamos" las condiciones de coherencia cónica utilizando $F$ En mi opinión, esto encaja perfectamente con lo que significa "crear" un límite.


A continuación se demuestra que las equivalencias satisfacen la definición anterior de "creación de límites".

Prueba Sea $F:\mathcal{C}\simeq\mathcal{D}$ sea una equivalencia con $S:\mathcal{I}\to\mathcal{C}$ sea un diagrama de forma $\mathcal{I}$ en $\mathcal{C}$ y supongamos que $F\circ S$ tiene un límite $\pi':\Delta L'\Rightarrow F\circ S$ . Desde $F$ es esencialmente suryectiva existe algún objeto $L\in\mathcal{C}$ y un isomorfismo $u:F(L)\cong L'$ Así que $\pi'\circ u:\Delta F(L)\Rightarrow F\circ S$ también es trivialmente un límite de $F\circ S$ . Además, puesto que $F$ está lleno obtenemos una fuente $$\hat L=\{\pi_I:L\to S(I)\}_{I\in\mathcal{I}}$$ en $\mathcal{C}$ con $F(\pi_I)=\pi'_I\circ u$ para todos los objetos $I\in\mathcal{I}$ Así pues $F(\hat L)\cong\pi'$ como conos ya que $u$ era un iso y un morfismo de conos por las ecuaciones precedentes para todo $I$ . Si cualquier otra fuente $\hat L''=\{\pi'':L''\to S(I)\}_{I\in\mathcal{I}}$ satisface $F(\hat L'')\cong\pi'\cong F(\hat L)$ entonces existe un isomorfismo único de conos $$w':F(L)\to F(L''),$$ y puesto que $F$ está llena esta flecha es la imagen de una flecha $w:L\to L''$ que es la única que satisface $F(w:L\to L'')=w':F(L)\to F(L'')$ por fidelidad de $F$ . Tenemos entonces que $$F(\pi''_I\circ w)=F(\pi''_I)\circ F(w)=F(\pi''_I)\circ w'=F(\pi_I)\implies\pi''_I\circ w=\pi_I,$$ desde $F$ es fiel, y $w$ es una iso ya que $w'$ es con $w^{-1}:L''\to L$ la única flecha tal que $F(w^{-1}:L''\to L)=w'^{-1}:F(L'')\to F(L)$ Así que $\hat L''\cong\hat L$ y puesto que $\hat L''$ era una fuente arbitraria $\hat L$ es la única fuente hasta el isomorfismo que satisface $F(\hat L)\cong\pi'$ . Además tenemos que $\pi:\Delta L\Rightarrow S$ es un límite de $S$ es un cono ya que conmuta para todas las flechas $f:I\to I'\in\mathcal{I}$ desde $\pi'$ es un cono a $F\circ S$ Así pues conmuta para todas las flechas $f:I\to I'\in\mathcal{I}$ desde $F$ es fiel. Este cono es además terminal, ya que cualquier otro cono $'\pi:\Delta'L\Rightarrow S$ da lugar a un cono $F('\pi):\Delta F('L)\Rightarrow F\circ S$ que induce un morfismo único de conos $'u:F('L)\to F(L)=L'$ con $F(\pi_I)\circ{'u}=\pi'_I\circ {'u}=F({'\pi_I})$ y puesto que $F$ está lleno existe una flecha $v:{'L}\to L\in\mathcal{C}$ que es la única que satisface $F(v:{'L}\to L)={'u}:F({'L})\to F(L)$ desde $F$ es fiel, y $v$ es también un morfismo de conos ya que $$F(\pi_I\circ v)=F(\pi_I)\circ F(v)=\pi'_I\circ{'u}=F({'\pi_I})\implies\pi_I\circ v={'\pi_I}$$ para todos los objetos $I\in\mathcal{I}$ , de nuevo por fidelidad de $F$ .

No es inmediatamente evidente cómo modificar la prueba anterior para conseguir que las equivalencias satisfagan la definición JoC de creación de límites. Podríamos ser capaces de evitar esto (no canónicamente en un universo con elección) utilizando el hecho de que dos categorías son equivalentes si tienen esqueletos isomórficos, y luego elegir un esqueleto de $\mathcal{D}$ que ya contiene el límite $\pi':\Delta L'\Rightarrow F\circ S$ y un esqueleto de $\mathcal{C}$ isomorfo a este esqueleto -- deberíamos entonces tener que la definición JoC también se satisface, a menos que me equivoque.

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