Sarrus rige para 4 por 4

Question

Lo más probable es que esta pregunta no sea de nivel de investigación, pero pensé que a la gente de MO podría gustarle... Siéntase libre de cerrar.

He aquí la motivación: Si alguna vez ha impartido un curso de matemáticas para ingenieros en el que se trataban los determinantes y que incluía un examen escrito, a menudo pedía a los alumnos que calcularan un determinante de 4 por 4 para comprobar si habían entendido las reglas básicas (por ejemplo, utilizar la fórmula de Laplace para reducir a 3 por 3 si la estructura es favorable o utilizar la eliminación de Gauß). Si has hecho esto, lo más probable es que hayas visto a algún alumno resolver este problema aplicando la " Regla de Sarrus para matrices de 4 por 4". Normalmente, los estudiantes memorizan para 3 por 3 un patrón como

(por supuesto, las líneas significan que debe multiplicar los números a lo largo de las líneas; las líneas verdes obtienen un $+$ Las líneas rojas reciben un $-$ Finalmente, súmalo todo). Mis colegas me dijeron, que en cada examen hay al menos un tipo inteligente que felizmente generaliza esta regla a matrices de 4 por 4 con un esquema como este:

al que me referiré como Falsa regla de Sarrus . De hecho, uno podría convertir esto en una regla de trabajo asignando los signos correctos y repitiendo el procedimiento dos veces más de una manera diferente. Escribí una pequeña entrada en el blog aquí (e incluso existe un documento al respecto ( Descripción en alemán , Descripción en ruso )). Básicamente, escribí esta entrada de blog para dar a la gente que busca en la red una Regla de Sarrus generalizada algún recordatorio visual de que no existe una "Regla de Tipo Sarrus" fácil. Aunque parezca mentira: El post se encuentra con frecuencia a través de términos de búsqueda como "regla de sarrus", sarrus 4*4", "sarrus matrice 4 4" o similares. Comentándolo hoy con un colega, nos hicimos la siguiente pregunta:

¿Cómo es el conjunto de matrices de 4 por 4 para las que esta "Falsa Regla de Sarrus" da el determinante correcto?

Pensamientos básicos: Una matriz $A=(a_{ij})$ está en este conjunto, si y sólo si se cumple la siguiente ecuación $$\sum_{\text{eight special permutations}\ \pi_j} \pm a_{1\pi_j(1)}\cdots a_{4\pi_j(4)} = \det(A).$$ Cuatro de los ocho sumandos de la izquierda tienen el signo correcto, los otros cuatro tienen el signo incorrecto y, por tanto, se podría simplificar un poco. Sin embargo, la conclusión es: Sólo hay una ecuación que tiene que cumplirse para todas las dieciséis entradas de una matriz de 4 por 4 (y esta ecuación es un polinomio homogéneo de grado cuatro) y, por tanto, el conjunto de matrices para las que la Falsa Regla de Sarrus da el resultado correcto es una variedad de 15 dimensiones, pero no tengo ni idea de cómo es. ¿Quizá algún geómetra algebraico pueda aportar algo?

Observación final: No tengo intención de incluir este debate en un curso de matemáticas para ingenieros (aunque puede ayudar a ahuyentar a algunas personas de la idea de que "podría haber una solución fácil "). $4\times 4$ Regla de Sarrus").

Answer 1

He aquí un resultado sugerido por los comentarios de Gerhard Paseman. La falsa regla de Sarrus es correcta en todas las matrices de rango $1$ y $4\times 4$ y $5\times 5$ matrices de rango $2$ . No se cumple en general en matrices de rango $3$ para $n\times n$ matrices con $n\gt 3$ . También falla para algunas matrices de rango $2$ y dimensión $6$ o superior.

Para ver que falla en matrices de rango $3$ consideremos matrices diagonales en bloque con un no singular $2\times 2$ bloque $A = {ab \choose cd}$y un$J_{n-2}$bloque. Esto es singular para$n \gt 3$pero la falsa regla de Sarrus produce$\det(A) \ne 0.$

$$\begin{pmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0 \\\ c & d & 0 & \cdots & 0 \\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ 0 & 0 & 1 &\cdots &1\end{pmatrix}$$

Si $M$ tiene rango $\le 2$ y que las columnas sean combinaciones lineales de $\vec{v}$ y $\vec w$ , $a_i \vec{v} + b_i\vec{w}.$ Entonces los monomios de la Falsa Regla de Sarrus son de la forma $\prod_{i\in I} a_{\pi(i)} v_i \prod_{i \in I^c} b_{\pi(i)} w_i.$ Si $|I| \le 2$ o $|I^c| \le 2$ entonces el coeficiente del monomio es $0$ mediante la recopilación de términos ( $n-n$ para rangos $0$ y $1$ y $1-1$ para el rango $2$ ).

Esto falla para $|I|,|I^c| \ge 3$ . Por ejemplo, la falsa regla de Sarrus se evalúa como $1$ en $P (J_3 \oplus J_{n-3}) P$ donde $P$ es la matriz de permutación del $(3 ~4)$ transposición, ya que sólo contribuye la diagonal principal. Para $n=6$ Esto es

$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$