Primero, la pregunta; después, la motivación.
Véase 27.6 (pdf pp. 262-263) en El cómodo marco del análisis global (AMS, 1997), y, en particular, el ejemplo que se da al final de la misma, que concluye con: "Entonces son válidos los mismos resultados, pero $X$ es ahora incluso segundo contable".
Pregunta: ¿Este segundo contable $X$ admiten una métrica riemanniana?
Para el motivación :
Este post tiene su origen en el anterior de Jeff Rubin Pregunta MO y un seguimiento que publiqué.
El primero recuerda (pero también preguntas ) el siguiente resultado demostrado tanto por Serge Lang (Fundamentals of Differential Geometry, 1999, Springer-Verlag) como por Abraham, Marsden y Ratiu (Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, 1988, Springer-Verlag):
Teorema: Una variedad de Banach de Hausdorff conectada con una métrica de Riemann es un espacio métrico.
Para una encarnación anterior de esta cuestión, Wolfgang Loehr dio un breve argumento (abajo) indicando que el espacio $X$ mencionado anteriormente está conectado. En particular, $X$ es una variedad de Banach de Hausdorff, conectable en segundo lugar, que es separable y no regular, por lo que no es metrizable según el Teorema de Urysohn.
Si $X$ admite una métrica riemanniana, entonces es un contraejemplo al "teorema" anterior. En cualquier caso, no estoy seguro de cómo demostrar cuándo una variedad admite o no una métrica de Riemann, y agradecería ayuda en este sentido.
