Lagrangiano de la teoría gauge de la gravedad

Question

Aquí se discuten varias cuestiones sobre la gravedad como teoría gauge del grupo de Lorentz. Estoy tratando de encontrar el Lagrangiano que este gauge produce, y las otras discusiones se detienen justo antes de proporcionar eso. Por ejemplo, considere estas preguntas:

https://physics.stackexchange.com/a/127587/747

donde la respuesta dice:

La gravedad puede considerarse una teoría gauge del grupo de Lorentz (que actúa sobre el espacio tangente). Así lo señalaron Kibble y Sciama en los años 50 y 60.

Otra pregunta pertinente es:

https://physics.stackexchange.com/a/46367/747

Donde el autor muestra específicamente la correspondencia entre una galga lineal general y los símbolos de Christoffel.

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Sólo estoy tratando de conseguir un poco más completo con estas respuestas y terminar la respuesta a algo utilizable. Supongo que estas teorías se supone que para producir un Lagrangiano, pero todas estas preguntas y respuestas parecen detenerse a punto de hacer eso.

Sabiendo eso:

$$ \psi'=g\psi g^{-1} \tag{1} $$

y

$$ D_\mu = \partial_\mu \psi - [ig A_\mu , \psi] \tag{2} $$

y

$$ R_{\mu\nu} = [D_\mu,D_\nu] \tag{3} $$

¿Puedo construir un Lagrangiano a partir de esto?

Inspirado por QED, yo sugerido anteriormente (como borrador).

$$ \mathcal{S}=\int \bar{\psi} (i\hbar c \gamma^\mu D_\mu - m c^2)\psi-\frac{1}{4} R_{\mu\nu}R^{\mu\nu} \tag{4} $$

En realidad no creo que (4) sea necesariamente correcto, pero lo propongo sólo para estimular la creatividad y fijar las expectativas.

¿Existe alguna receta para construir un Lagrangiano a partir de 1,2 y 3? Utilizando el "método de Yang-Mills" se obtiene 4, pero parece que esto no es lo que la gente tiene en mente cuando describe la gravedad como una teoría gauge (como me dijeron en otra pregunta). ¿Cómo producirías el Lagrangiano a partir de 1,2 y 3 que satisfaga a la gente que afirma que se puede entender como una teoría gauge del grupo de Lorentz?

Answer 1

Se puede escribir la acción en términos de formas diferenciales como \begin{equation} S = \int \epsilon_{abcd} R^{ab} \wedge e^c \wedge e^d \end{equation} Hasta un factor numérico, esto es equivalente a la acción de Einstein-Hilbert \begin{equation} S = \int {\rm d}^4 x \sqrt{-g} R = \int {\rm d}^4 x |\det e| R \end{equation} El hecho de que la acción de Einstein-Hilbert sea lineal, no cuadrática, en la curvatura, es una de las diferencias entre la gravedad y una teoría gauge de Yang-Mills.

Por cierto, en lenguaje de forma diferencial, la contribución de la constante cosmológica a la acción es \begin{equation} S = \int \epsilon_{abcd} e^a \wedge e^b \wedge e^c \wedge e^d \end{equation}

Yendo en la otra dirección, puede intentar "aumentar el número de $R$ " en el producto cuña, por ejemplo \begin{equation} S = \int \epsilon_{abcd} R^{ab} \wedge R^{cd} \end{equation} Sin embargo, se trata de una derivada total en 4 dimensiones (el término de Gauss-Bonnet). En dimensiones superiores, este tipo de $R$ con $e$ 's darle las interacciones Lovelock. Además de que estos términos son triviales en cuatro dimensiones, por recuento de potencias cabría esperar que estuvieran paramétricamente suprimidos en relación con los términos de Einstein-Hilbert y la constante cosmológica, por debajo de la escala de Planck.

Hay otras interacciones de orden superior que se pueden escribir y que son invariantes bajo difeomorfismos y transformaciones locales de Lorentz distintas de los términos de Lovelock, que uno espera que sean generadas por correcciones de bucle. Por supuesto, las ecuaciones de movimiento serán mayores que las de segundo orden, ya que por definición los términos de Lovelock son los que dan ecuaciones de movimiento de segundo orden. Pero se espera que estos términos estén suprimidos por Planck y, por tanto, sean irrelevantes (aunque la gente los busca en los datos observacionales).