Relaciones de Kramers-Kronig para la autoenergía del electrón

Question

Actualmente estoy estudiando un artículo de Maslov , en particular la primera sección sobre las correcciones superiores al comportamiento del líquido de Fermi de los sistemas de electrones que interactúan. Desgraciadamente, me he topado con un obstáculo al tratar de entender un argumento relativo a la autoenergía (retardada) $\Sigma^R(,k)$ .

Maslov afirma que en un líquido de Fermi, la parte real y la parte imaginaria de la autoenergía $\Sigma^R(,k)$ vienen dadas por

$$ \mathop{\text{Re}}\Sigma^R(,k) = -A + B\xi_k + \dots $$ $$ -\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(,k) = C(^2 + \pi^2T^2) + \dots $$

(ecuaciones 2.4a y 2.4b). Estas ecuaciones parecen razonables: cuando se introducen en el propagador del fermión,

$$ G^R(,k) = \frac1{ + i\delta - \xi_k - \Sigma^R(,k)} $$

la parte real modifica ligeramente la relación de dispersión $ = \xi_k$ ligeramente y la parte imaginaria amplía ligeramente el pico. Eso es lo que yo llamaría un líquido de Fermi: los picos de los electrones desnudos se ensanchan un poco, pero todo lo demás permanece como siempre.

Ahora, Maslov pasa a derivar correcciones de orden superior a la parte imaginaria de la autoenergía, por ejemplo de la forma

$$ \mathop{\text{Im}}\Sigma^R() = C^2 + D||^3 + \dots .$$

En primer lugar, no entiendo muy bien cómo interpretar esta ampliación.

¿Cómo voy a entender las expansiones en órdenes de $$? I suppose that $$ es pequeño, pero ¿en relación a qué? El nivel de Fermi parece estar dado por $=0$ .

En segundo lugar, afirma que esta expansión debe entenderse "en la cáscara de la masa".

Entiendo que "en la cáscara de la masa" significa poner $\xi_k=$ ? ¿Pero qué significa entonces la expansión? Quizás se supone que debo expandirme en órdenes de $(-\xi_k)$ ?

Ahora la pregunta que es la más importante para mí. Maslov sostiene que la parte real de la autoenergía puede obtenerse mediante la relación Kramers-Kronig a partir de la parte imaginaria de la autoenergía. Mi problema es que las integrales correspondientes divergen.

¿Cómo puede $$ \mathop{\text{Re}}\Sigma^R(,k) = \mathcal{P}\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \frac{\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(\omega,k)}{\omega-} $$ para funciones no integrables como $\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(,k) = ^2$ ?

Probablemente tenga que ver con el hecho de que los dólares sean pequeños, pero no entiendo muy bien qué está pasando.

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Probablemente debería mencionar mi motivación para estas preguntas: He calculado la parte imaginaria de la autoenergía para el líquido de Luttinger unidimensional $\xi_k=|k|$ como

$$ \mathop{\text{Im}}\Sigma^R(,k) = (||-|k|)(||-|k|)\mathop{\text{sgn}}() $$

y me gustaría hacer la conexión con la interpretación y los resultados de Maslov. En particular, quiero calcular la parte imaginaria de la autoenergía con la Relaciones Kramers-Kronig .

Answer 1

No puedo hablar con conocimiento de causa sobre los detalles de su problema, pero puedo ofrecer algunas ideas.

En cuanto a su primera pregunta, necesitará tener dimensiones de $\text{energy}^{-1}$ para $C$ y $\text{energy}^{-2}$ para $D$ . En concreto, esto significa que $C/D$ tiene unidades de energía. Esto da sentido a la afirmación de que $$ D|\epsilon|^3 \ll C\epsilon^2 \quad\Leftrightarrow\quad |\epsilon| \ll C/D\,. $$

En cuanto a una relación Kramers-Kronig divergente, deberías leer sobre una o más relaciones de dispersión sustraídas. Entonces, en lugar de escribir $$ \mathop{\text{Re}}\Sigma^R(\epsilon,k) = \mathcal{P}\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \frac{\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(\omega,k)}{\omega-\epsilon}\,, $$ puedes escribir $$ \mathop{\text{Re}}\Sigma^R(\epsilon,k) - \mathop{\text{Re}}\Sigma^R(\epsilon_0,k) = \mathcal{P}\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \frac{(\epsilon-\epsilon_0)\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(\omega,k)}{(\omega-\epsilon)(\omega-\epsilon_0)}\,, $$ donde $\epsilon_0$ es algún punto de sustracción conveniente, presumiblemente uno en el que se sabe $\mathop{\text{Re}}\Sigma^R(\epsilon_0,k)$ . Se puede ampliar a dos o más relaciones de dispersión sustraídas también. Weinberg Vol. 1 tiene mucho sobre las relaciones de dispersión donde se puede leer más sobre esto.