Hasta donde yo sé, la teoría de Morse proporciona mucha información sobre la topología de las variedades lisas; en particular, puede utilizarse para demostrar la desaparición de Artin (que la cohomología singular de una variedad compleja lisa de dimensión n desaparece en grados >n). Mi pregunta es: ¿hay alguna idea de cómo extender alguna de las consecuencias de la teoría de Morse a (el estudio de la homología etale de) variedades algebraicas (sobre campos de característica arbitraria)? En particular, ¿cuál es la relación entre la homología de Morse y los pensiles de Lefschetz?
Respuesta
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Una función de Morse es un mapa de una múltiple a la recta real localmente equivalente a: $$f(x_1,\ldots, x_n)=-x_1^2\ldots -x_k^2+ x_{k+1}^2+\ldots+x_n^2$$ para algunos $k$ . En otras palabras, para las que las singularidades son lo más simples posible. Mientras que un lápiz de Lefschetz es un mapa de una variedad proyectiva lisa a la recta proyectiva local dada analíticamente por $f=x_1^2+\ldots+x_n^2$ . Así que, en este sentido, son muy análogos. Sin embargo, hay diferencias. Dado una función Morse $f:X\to \mathbb{R}$ la colección de los números anteriores $k$ llamados índices, determinan el tipo de homotopía. [el número de células de un complejo homotópico a $X$ ]. Para la desaparición de "Artin", basta con elegir un $f$ donde estos índices están acotados por la dimensión (Los detalles pueden encontrarse en las primeras páginas de la teoría Morse de Milnor). No me consta que exista un sustituto completo en el otro lado, dado digamos un lápiz de Lefschetz $f:X\to \mathbb{P}^1$ . Sin embargo, el lápiz permite calcular la cohomología (etale) de $X$ en función de los puntos críticos de $f$ y la monodromía, o más formalmente en términos de las imágenes directas $R^if_*\mathbb{Q}_\ell$ . Y esto es muy poderoso.
Tal vez sería más instructivo dar un Morse-como pseudo-proof del teorema de Artin. Por "pseudo" quiero decir que hay un paso que no puedo justificar sin mucho más esfuerzo del que esto vale. Sea $X\subset \mathbb{A}^n$ sea una variedad afín irreducible de dimensión $n$ sobre un campo algebraicamente cerrado. Por proyección genérica, obtenemos un morfismo no constante $f:X\to \mathbb{A}^1$ que desempeñará el papel de nuestra función Morse. Supongamos que ( * ) las imágenes directas $R^jf_*\mathbb{Q}_\ell$ eran construibles y conmutables con cambio de base. Entonces por inducción, $R^jf_*\mathbb{Q}_\ell=0$ para $j>n-1$ . A partir de la secuencia espectral de Leray basta con demostrar que $H^i(\mathbb{A}^1,F)=0$ para $i>1$ y cualquier gajo construible $F$ , pero esto es fácil. Tenga en cuenta que si $f$ eran adecuados, ( * ) sería automático. En general, se podría evitar mediante el cambio genérico de base [SGA 41/2, p 236] y el devissage.
