Demuestre que $f$ es integrable de Riemann en $[a,b]$ y que $\int_{a}^b f=t-s$ .

Question

A pesar de los muchos ejemplos que hay aquí para demostrar (o refutar) que una función es integrable de Riemann, sigo sin entender cómo se puede demostrar lo siguiente:

Supongamos que $a\leq s<t\leq b$ . Defina $f:[a,b]\rightarrow\{0,1\}$ b $$f(x)=\begin{cases} 1 & \text{if } s<x<t,\\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$ Demostrar que $f$ es integrable de Riemann en $[a,b]$ y que $\int_a^b f=t-s$ .

Primero simplemente intenté "desenrollar" la definición con la que estoy trabajando de lo que significa que una función sea integrable de Riemann:

Si $f$ es una función acotada en un intervalo cerrado y acotado, entonces $f$ es integrable de Riemann si su integral de Riemann inferior es igual a su integral de Riemann superior.

Ok, entonces la integral inferior de Riemann se define como $$L(f,[a,b])=\sup_PL(f,P,[a,b])=\sup_P\sum_{j=1}^n(x_j-x_{j-1})\inf_{[x_{j-1},x_j]}f$$ y la integral superior de Riemann se define como $$U(f,[a,b])=\inf_PU(f,P,[a,b])=\inf_P\sum_{j=1}^n(x_j-x_{j-1})\sup_{[x_{j-1},x_j]}f$$ donde ambos se toman sobre todas las particiones $P$ de $[a,b]$ . Así que quiero demostrar que $$L(f,[a,b])=t-s=U(f,[a,b]).$$ ¡Pero no sé cómo!

¿Existe un planteamiento estándar para resolver este tipo de problemas? Estoy seguro de que necesito utilizar algún tipo de $\epsilon,\delta$ argumento aquí, pero no soy muy bueno con ese tipo de pruebas para empezar. Realmente no estoy buscando una respuesta tanto como estoy buscando por qué la respuesta se escribiría tal cual, es decir, ¿cuál es su proceso de pensamiento cuando ve uno de estos y cómo le ayuda ese proceso a llegar a una solución?

Answer 1

Pista: Supongamos $a<s<t<b.$ Considere $U(f,P_n)- L(f,P_n)$ para la partición $P_n=\{a,s-1/n,s+1/n,t-1/n,t+1/n,b\}$ para grandes $n.$

Answer 2

Dada una partición $P$ de $[a,b]$ entonces esta partición puede ser de dos tipos ( $\underbrace{s\mbox{ and }t \in P}_{Type 1})$ o ( $\underbrace{s \mbox{ or } t \not \in P}_{Type 2}$ )

Entonces, si $P$ es de Tipo1, $L(f,P,[a,b])=t-s$ porque fuera del intervalo $[s,t]$ tenemos $f(x)=0$ y por lo tanto $\inf f(x)=0$ . De la misma manera se puede demostrar que $U(f,P,[a,b])=t-s$ también.

Si $P$ es de Tipo2, se puede ver (y demostrar) que $L(f,P,[a,b])\leq L(f,P',[a,b])$ para cualquier $P'$ de Tipo1. Entonces, se puede afirmar (¿por qué?) que $\sup \limits_P L(f,P,[a,b])=\sup \limits _{P'}L(f,P',[a,b])$ donde el primer sup se toma sobre todos los $P$ y el segundo se toma sobre todos $P'$ que son de tipo1.

Finalmente, como hemos visto que la suma inferior y superior utilizando particiones de tipo1 siempre será la misma constante, ¡concluimos lo que queremos!