El rango de las curvas elípticas de la forma $y^2=x^3+ax$

Question

Busco referencias de las dos preguntas siguientes:

1) Para con clase de primos el rango de las curvas elípticas $y^2=x^3+px$ es exactamente $0,1$ o $2$ . Fue bastante fácil demostrar que el rango es $0$ para $p\equiv 7$ o $11 \pmod {16}$ . Pero, ¿qué pasa con otros primos? ¿Qué tan "bueno" sabemos que el tanque en estos días?

2) ¿Existe algún método (que pueda entender un estudiante de licenciatura) para determinar los generadores del grupo $E(\mathbb Q)$ cuando $rank(E(\mathbb Q))>0$ y $E$ viene dado por $y^2=x^3+ax$ ?

Answer 1

En el libro de Silverman "The Arithmetic of Elliptic Curves" se resumen los resultados clásicos sobre el rango de Mordell-Weil de estas curvas en el capítulo $X$ Sección $6$ que se llama "La Curva $E: Y^2=X^3+DX$ " para enteros libres de cuarta potencia $D$ . Proposición $6.2$ nos da la fórmula, para $D=p$ de primera, $$ {\rm rank} \; E(\mathbb{Q})+\dim_2 Ш (E/\mathbb{Q})[2]=\begin{cases} 0 \text{ if } p\equiv 7,11 \bmod 16 \\ 1 \text{ if } p\equiv 3,5,13,15 \bmod 16 \\ 2 \text{ if } p\equiv 1,9 \bmod 16 \end{cases} $$ El lado izquierdo se denomina rango Selmer. De aquí se deduce que para $p\equiv 7,11 \bmod 16$ el rango de $E(\mathbb{Q})$ es $0$ y $Ш (E/\mathbb{Q})[2]=0$ . Para $p\equiv 5\bmod 8$ el rango es como máximo $1$ se deduce de la conjetura de Birch-Swinnerton Dyer que tiene exactamente el rango $1$ para todos primos $p\equiv 5\bmod 8$ pero, por supuesto, esto está abierto. Así que tomando en conjunto todas las observaciones en esta sección del libro de Silverman obtendrá una respuesta, lo que se sabía hasta, digamos, $1992$ sobre los primos $p$ con rango $0$ , $1$ o $2$ . Creo que los expertos pueden decirle cuál es la situación actual. Por supuesto, hay varios documentos en la web, que es posible que desee ver, por ejemplo, Documento de Goto de $2001$ y las referencias, y su Tesis doctoral .