Necesito ayuda con una prueba de que si $xy=0$ entonces $x=0$ o $y=0$

Question

Necesito demostrar la siguiente afirmación si $xy=0$ entonces $x=0$ $or$ $y=0$ .

Mi primera idea fue demostrar la negación del problema original si $x\neq0$ y $y\neq0$ entonces $xy\neq0$ pero aún no sé cómo demostrarlo rigurosamente.

Answer 1

Sugerencia : Supongamos que $x\ne 0$ y $xy=0.$ Desde $x\ne 0,$ entonces hay un número real muy especial estrechamente ligado a $x$ con respecto a la multiplicación. Comprueba tus axiomas y mira a ver si puedes averiguar qué puede ser. ¿Qué nos permitirá hacer este número real, ya que $1y=y$ y $z\cdot 0=0$ para todos $z$ ?

Answer 2

Supongamos que $xy=0$ y supongamos $x\ne0$ y $y\ne 0$ . Entonces existe $x^{-1}$ y $y^{-1}$ . Ahora, deberías ser capaz de derivar una contradicción.

Answer 3

Divídelo en casos:

Caso 1: x es igual a 0.

En este caso ya no tiene pruebas.

Caso 2: x no es igual a 0.

Como x no es igual a 0, 1/x existe.

Toma la ecuación xy=0 y multiplica ambos lados por 1/x:

( .. por lo tanto, y=0
Así que en este caso también hemos terminado.

Comentarios generales: Digamos que tienes un teorema de la forma... Si P entonces A o B

La forma de demostrarlo "directamente" (es decir, sin contradicción) es dividirlo en casos utilizando A o B.

Es decir si eliges dividirlo en casos usando A, los casos serán: 1) Suponer que A es cierto. ...... Boom, ya hemos demostrado que uno de A o B es cierto (es decir, A).

2) Supongamos que A no es cierto. .... necesita hacer algún trabajo para demostrar que B es cierto.

Así que cuando te conviertes en "pro" por lo general no muestran el caso 1), por lo general sólo muestran la prueba de 2), como:

Supongamos que x no es igual a 0. Entonces 1/x existe, así que .... boom y=0. Hecho.