Límites dirigidos y elección sobre $\mathbb{R}$ .

Question

Supongamos que $\{V_{i}\}$ y $\{W_{i}\}$ son sistemas dirigidos de espacios vectoriales, indexados sobre $\mathbb{R}$ con todos los mapas $i_{rr'}: V_{r} \to V_{r'}$ y $j_{rr'}: W_{r} \to W_{r'}$ inyectiva . Así, todos los espacios vectoriales $V_{i}$ incrustar en el colimite $\mathbb{V}$ de su sistema dirigido, y de forma similar con los espacios vectoriales $W_{i}$ y $\mathbb{W}$ . A continuación, supongamos que existen morfismos entre estos sistemas dirigidos, mapas $f_{r}: V_{r} \to W_{r}$ haciendo que todas las plazas necesarias conmuten. Supongamos además que cada $f_{r}$ es surjective por lo que tenemos un mapa suryectivo $f: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ .

El objetivo: la construcción de un mapa $g: \mathbb{W} \to \mathbb{V}$ que restringe a cada $W_{r}$ como mapa $g: W_{r} \to V_{r}$ que es un inverso derecho para $f_r$ . Creo que la inyectividad de los mapas $j_{rr'}$ debería permitir hacerlo de forma coherente. Sin embargo, lo que me confunde es cómo tratar el hecho de que nuestro conjunto de indexación sea $\mathbb{R}$ un conjunto en el que es difícil hacer inducción ordenada.

Ahora bien, si $\mathbb{V}$ y $\mathbb{W}$ tienen rango finito, esto se convierte en una tarea de inducción finita y bastante fácil. A decir verdad, eso es todo lo que necesito para la aplicación que nos ocupa. Sin embargo, me pregunto si tal mapa $g$ pueden producirse con mayor generalidad. Naturalmente, AC tendrá que hacer acto de presencia, pero no estoy seguro de necesitar otros supuestos teóricos de conjuntos.

Answer 1

Esto no es posible en general, y no tiene nada que ver con la teoría de conjuntos - se reduce al hecho de que su diagrama no está bien fundamentado.

Fijemos un campo $k$ para trabajar. Para todos $r\in \mathbb{R}$ , dejemos que $V_r = \bigoplus_{s\leq r} k$ y que $W_r = k$ . Para todos $r<r'$ , dejemos que $i_{rr'}\colon V_r\to V_{r'}$ sea el mapa de inclusión obvio, y sea $j_{rr'}\colon W_r\to W_{r'}$ sea $\text{id}_k$ . Para todos $r$ , dejemos que $f_r\colon V_r\to W_r$ sea el mapa $\bigoplus_{s\leq r} k\to k$ inducida por $\text{id}_k$ en cada componente.

Calculando los colímites, tenemos $V = \bigoplus_{r\in \mathbb{R}} k$ y $W = k$ . Un mapa $g\colon W\to V$ viene determinada por $g(1)$ que sólo tiene un número finito de componentes distintas de cero en $V$ . Dejar $r$ sea el menor de ellos, para cualquier $s<r$ la restricción de $g$ a $W_s$ no tiene en cuenta $V_s$ .

Tenga en cuenta que el mismo ejemplo funciona si sustituye $(\mathbb{R},\leq)$ con cualquier orden parcial sin elemento mínimo, por ejemplo $(\mathbb{Z},\leq)$ .