Sea $u: U\subset\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n$ sea una función suave, $U$ limitado. Sea $x_0$ y $r$ sea tal que $B_r(x_0)$ es disjunta de $\partial U$ . Sea $\eta$ sea una función de protuberancia suave soportada en $B_r(x_0)$ con integral total uno. Definir el grado local de $u$ en $x_0$ como
$$\int_U \eta(u) \det(Du) dx.$$
Intento demostrar que esta integral es un número entero. Este es un ejercicio del capítulo 8 de "Ecuaciones diferenciales parciales" de Evans. El ejercicio anterior nos hace demostrar que $\eta(u) \det(Du)$ es un lagrangiano nulo, por lo que la integral sólo depende de la restricción de $u$ a $\partial U$ . Por lo tanto, parece que tenemos que utilizar este hecho de alguna manera, y buscar una función cuyos valores límite coincidan con los de $u$ . Pero no veo la manera de hacerlo. ¿Alguna sugerencia?
