Pida $25$ personas en $4$ círculos, $3$ círculos con $6$ personas y $1$ círculo con $7$ personas - el orden entre los círculos no es importante

Question

Estoy aprendiendo a mi prueba de matemáticas discretas y traté de responder a esta pregunta.

Sé contar las opciones con importancia del orden entre los círculos, utilizando el principio de multiplicación.

Cuento las opciones para poner $6$ de $25$ personas del primer círculo - $p(25,6)$ y opciones para ordenarlas en el círculo que es $5!$

A continuación, cuente las opciones para poner $19$ de $25$ personas del segundo círculo - $p(19,6)$ y las opciones para ordenarlas en el círculo que es $5!$

A continuación, cuente las opciones para poner $13$ de $25$ personas del segundo círculo - $p(13,6)$ y las opciones para ordenarlas en el círculo que es $5!$

A continuación, cuente las opciones para poner $7$ de $7$ personas del segundo círculo - $1$ y las opciones para ordenarlas en el círculo que es $6!$

Luego los multiplico todos y me sale que el número de opciones para ordenar a las personas en los círculos es: $(25, 6) \times (19, 6) \times (13, 6) \times (5!)^3 \times 6!$

Ahora necesito utilizar el principio de la diversidad: sé que para cada grupo de círculos hay $4!$ diferentes maneras de ordenar los círculos, así que si estoy dividiendo el recuento con importancia del orden por $4!$ Tengo la respuesta.

El problema es que en la solución dicen que tengo que diversificarlo por $3!$ porque ya sé que el círculo con $7$ las personas serán las últimas en el orden y me está costando entender la idea.

La pregunta es como escribo en el encabezado, así que espero haber sido lo suficientemente claro para que la gente pueda ayudarme a captar la idea en la solución.

Answer 1

En lugar de dividir por simetría, quizá tenga más sentido un argumento más directo.

En primer lugar, elijamos a las siete personas que se sientan en la mesa de siete personas. No hay ninguna ambigüedad sobre cuál es la mesa de las siete personas, es la única mesa con siete sillas. Elegimos a esas siete personas en $\binom{25}{7}$ maneras.

Una vez elegidas esas personas, las miramos y una de ellas será la más joven. Que se sienten en la mesa de siete personas en la silla que quieran, a nosotros nos da igual, ya que no llevamos la cuenta de esa información. A partir de ahí, coge a las seis personas restantes y colócalas alrededor de los asientos restantes de la mesa. Sí tenemos en cuenta esta información, ya que nos importa cómo están sentadas las personas en relación con las demás ( aunque no nos importa cómo están sentados con respecto a la puerta de la habitación ). Esto puede hacerse en $6!$ maneras.

A partir de aquí, y aquí es donde mi propuesta de solución difiere de la tuya, entre las personas que queden habrá alguna más joven y esa persona acabará sentada en algún sitio. Adelante, que elijan donde sentarse. No nos importa en cuál de las mesas restantes se siente, todas nos parecen iguales. Tampoco importa en cuál de los asientos se sienten, ya que sólo nos importa cómo están sentadas las personas entre sí, no cómo está situada la mesa en la sala o dónde está la silla con respecto a la entrada, etc...

Ahora que el más joven ha elegido su asiento, elige a otras cinco personas para que se sienten a la mesa con él y luego elige cómo se disponen alrededor de la mesa en relación con esa persona más joven. Esto puede hacerse en $\binom{17}{5}\cdot 5!$ maneras.

Ahora, entre los restantes $12$ gente, de nuevo, quedará uno más joven. Que se sienten en uno de los asientos que queden libres en una de las mesas que queden libres, de nuevo no importa cuál. Elige la $5$ otras personas para que se sienten con ellos y se dispongan alrededor de la mesa en $\binom{11}{5}\cdot 5!$ maneras. Haga esto una última vez para el último grupo de personas en $\binom{5}{5}5!$ maneras.

Esto da un total de:

$$\binom{25}{6}6!\cdot \binom{17}{5}5!\cdot \binom{11}{5}5!\cdot \binom{5}{5}5!$$

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En cuanto a su enfoque de la división por simetría y la división por $3!$ en lugar de por $4!$ La cuestión es que a la hora de elegir la mesa en la que se sentaron, como se indica en la solución del profesor, podemos distinguir correctamente cuál de las mesas es la de las siete personas por el hecho de que es la única mesa en la que hay siete personas... incluso si las etiquetas de la mesa estuvieran ocultas. Las tres mesas de seis personas, sin embargo, si no estuvieran etiquetadas, no podríamos distinguirlas, por lo que nuestro planteamiento inicial de recuento, que tenía estas mesas etiquetadas como "primera", "segunda" y "tercera", había contado cada resultado discernible seis veces, una por cada disposición diferente de las etiquetas en las mesas.

Answer 2

¿Por qué hay que dividir por $3!$ y no por $4!$ ?

Observe todos los círculos de tamaño $6$ pueden intercambiarse entre sí, mientras que el círculo de tamaño $7$ es "especial" - no se puede intercambiar con cualquier otro círculo. Tu solución antes de la última división asumía que sabías cuál de los círculos de "tamaño" $6$ era "primero", cuál era "segundo" y cuál era "tercero". Ahora, como no nos importa el orden de esos tres círculos, dividimos por el número de permutaciones de esos círculos, es decir $3!$ .

Para ilustrarlo mejor: en un hipotético problema similar, en el que $26$ las personas se dividirían en dos círculos de tamaño $7$ y dos círculos de tamaño $6$ como último paso, habría que dividir por $2!\cdot 2! = 4$ porque los dos círculos de tamaño $7$ pueden intercambiarse, y dos círculos de tamaño $6$ pueden intercambiarse, pero un círculo de tamaño $6$ no puede cambiarse por un círculo de tamaño $7$ .