En cuanto a Collatz, ¿relación entre pasos Impares y pasos pares?

Question

Si $b > 1,\ \ b \ \to_c \ 1$ en $m + n$ pasos ( $m$ a través de los números impar, $n$ hasta par) entonces $2^A + b \ \to_c \ {3^m \over 2^n} 2^A + 1$ .

Si imaginamos que ${3^m \over 2^n} 2^A + 1 < 2^A + b$ se obtiene la desigualdad ${3^m \over 2^n} + 2^{-A} < 1 + b \cdot 2^{-A}$ . Podemos elegir $A$ sea un número entero enorme, entonces $2^{-A}$ sería un número masivamente pequeño, y parece que podemos concluir ${3^m \over 2^n} < 1$ que conduce a ${m \over n} < {\ln2 \over \ln3}$ un límite superior en la relación entre pasos Impares y pasos pares.

Escribí un programa para comprobar si la desigualdad se mantiene con $10000000$ y se comprueba, ¡a menos que tenga errores de desbordamiento ocultos! ¿Hay alguna razón por la que este límite superior debería ser correcto, o una forma mejor de comprobar la desigualdad para números enteros más grandes?

Edición: aquí hay un gráfico de $m/n$ para $2 \le b \le 10000$ frente a ${\ln2 \over \ln3}$

Answer 1

He encontrado una prueba explícita para la afirmación - Pensé en añadirlo en la pregunta como una edición, pero quiero decir que es una respuesta final de todos modos,

Supongamos que $b \ \to_c \ 1 < b$ en $m+n$ pasos, $m$ a través de impar y etc

entonces $b \ \to_c \ {3^m \over 2^n} b + {O \over 2^n} = 1$ para algún número entero $O \ge 0$ entonces tenemos

${3^m \over 2^n} b \le {3^m \over 2^n} b + {O \over 2^n} = 1 < b \\ \to {3^m \over 2^n} < 1 \\ \to {m \over n} < {\ln2 \over \ln3}$

Answer 2

Permítanos -lo que está en su notación $b \to_c 1$ con $b \gt 1$ - denotar como $$1 = T(b;B_1,B_2,...,B_N) \tag 1$$ con los exponentes $B_k$ indicando los poderes de $2$ que representa la $x/2$ -pasos entre dos $3x+1$ -pasos.
Denotemos también el número de $3x+1$ -pasa $N$ y la suma de exponentes (que son también el número de $x/2$ - pasos ) por $S = B_1+B_2+...+B_N$ .
Entonces podemos reordenar en (1) y también escribir $$1 = {3^N \over 2^S} b + T(0;B_1,B_2,...,B_N) \tag 2$$ . Denotemos ahora ${3^N \over 2^S} = q$ entonces tenemos, porque siempre $T(0;B_1,...,B_N) \gt 0$ de $1 = q \cdot b + T(0;B_1,B_2,...,B_N)$ que $$q = {3^N \over 2^S}\lt \frac 1b \lt 1 \tag 3$$

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Creo que lo siguiente es superfluo, pero porque te has metido con esto:
Si introducimos algunos $2^A$ entonces para todos $A>S$ tendremos con transformaciones de Collatz implícitas válidas $$q \cdot 2^A + 1 = q \cdot (2^A+b) + T(0;B_1,B_2,...,B_N) \tag {4.1}$$
Por supuesto, inmediatamente después $$q \cdot 2^A + 1 \lt q (2^A+b) \tag {4.2}$$ y también, porque $q \lt 1$ $$q \cdot 2^A + 1 \lt 1 (2^A+b) = 2^A+b \tag {4.3}$$ y $$q \lt 1+{b-1\over 2^A} \tag {4.4}$$ Pero esta última formulación es demasiado débil, porque ya tenemos de (3) que $(q=) {3^N \over 2^S} \lt \frac 1b \lt 1$ . Observación: esas manipulaciones superfluas me irritaron a la hora de captar el sentido de tu pregunta, pero bueno, creo que ahora he captado correctamente tu intención
De aquí obtenemos también su resultado correcto: $${3^N \over 2^S} \lt \frac 1b \lt 1 \\ 3^N \lt \frac {2^S} b \lt 2^S \\ N \ln3 \lt S \ln2 - \ln b \lt S \ln2$$ $${N \over S} \lt {\ln2 \over \ln 3 } - {\ln b \over S \ln3} \lt { \ln2 \over \ln3} \tag 5$$ donde no se necesitan pruebas numéricas adicionales.

También he mirado algunas fotos. Para hacer más visibles algunos patrones posiblemente relevantes utilizo sólo impar $b$ . También se suele aplicar una escala logarítmica del $b$ -hace las cosas más claras en los problemas diofánticos exponenciales.
Precaución: Estoy acostumbrado a las letras $a$ y $A$ para estos problemas en lugar de su $b$ aquí y no pensé en esto mientras generaba las imágenes. Así que tienes que traducir mentalmente las anotaciones, lo siento...
Así que aquí está el número de 3x+1 -pasos (= $N$ ) en las trayectorias de $b \to 1$ : Además del previsible aumento de $N$ con el aumento de $b$ Me parece una observación notable, que aparentemente (al menos) 2 patrones se superponen aquí: algo de abajo hacia arriba y algo de una primera escalera por encima de la parte inferior en expansión hacia arriba y hacia abajo. Del mismo modo esto se ve con $S$ el número de pasos pares: La superposición de patrones parece aún más clara aquí.
A continuación, la imagen de la proporción, que corresponde a su propia imagen pero muestra un poco más de detalle/patrón:
Por supuesto, como he omitido los números pares en $b$ tampoco tenemos los poderes perfectos de $2$ en $b$ y, por tanto, no los coeficientes cero que se ven en su gráfico.

Después de eso miré la modificación de Collatz $5x+1$ . Aquí sabemos, que las trayectorias no - como en el $3x+1$ -versión - fin del ciclo $1 \to 1 \to \cdots$ - pero en al menos 3 ciclos ( $1 \to 3 \to \cdots$ , $13 \to 33 \to 83 \to \cdots$ y $17 \to 27 \to 43 \to \cdots$ ) y es muy probable que diverjan hasta el infinito (¿deberíamos introducir aquí el concepto de "ciclo en el infinito"?), por lo que calculé los cocientes para cada grupo de valores de $b$ en función de su característica final: para el $b$ que entran en un ciclo, la proporción de $N/S$ antes de entrar en el ciclo, y para los divergentes $b$ Detuve las trayectorias en $x \ge 1e48$ y utilizado $N$ y $S$ tomadas hasta ahora. Aquí está la foto: Por supuesto, la divergencia $b$ tienen una ración superior a $\ln2 / \ln5$ y la convergencia $b$ más pequeño (excepto el valor $b=5$ que da un cociente mayor porque es menor que el valor más pequeño del ciclo final (que es $13$ ))

Answer 3

Hice algunos gráficos de esto y mi incluso sobre impar ratio parece tender pasado ln(3)/ln(2).

Relación par/impar para n<100000