Acerca de la definición de las medidas de Borel y Radon

Question

Estoy tratando de entender la noción de medida de Radon, pero estoy un poco perdido con las diferentes convenciones utilizadas en la literatura. Más concretamente, tengo una duda sobre la propia definición de medida de Borel.

Supongamos que $(X,\mathcal{B},\mu)$ es un espacio de medidas, donde $X$ es un espacio topológico. He encontrado dos definiciones diferentes de " $\mu$ es una medida de Borel":

-Def 1 : $\mu$ es una medida de Borel si $\mathcal{B}$ contiene el Borel $\sigma$ -de $X$ ,

-Def 2: $\mu$ es una medida de Borel si $\mathcal{B}$ es exactamente el Borel $\sigma$ -de $X$ .

Lo mismo ocurre con la noción de medida de Radon, ya que puede considerarse bien como medida de Borel en el sentido de Def 1, bien en el sentido de Def 2.

Por supuesto, Def 1 da una noción más general de medida de Borel o Radon. Por ejemplo la medida de Lebesgue (definida en la curva de Lebesgue $\sigma$ -de $\mathbb{R}^n$ ) es Radon en el sentido de Def 1, pero no en el sentido de Def 2.

¿Existen (otras) razones por las que uno pueda preferir Def 1 a Def 2 o viceversa?

Aparentemente, Def 2 hace bastante difícil tener una "medida Radon completa", lo que me hace pensar que es un poco artificial o restrictiva. Pero, ¿quizás muchos resultados sólo son válidos para medidas de Radon en el sentido de Def 2, sin extensión posible a medidas de Radon en el sentido de Def 1? ¿O tal vez haya una forma trivial de transferir cualquier resultado que implique una medida de Borel en el sentido de Def 2 a un resultado que implique una medida de Borel en el sentido de Def 1?

Una cuestión relacionada es la siguiente: si $\mu$ es Radon en el sentido de Def 2, ¿su terminación será Radon en el sentido de Def 1 ? La misma pregunta cuando se sustituye "Radon" por "regular interno", "regular externo" y "localmente finito".

Answer 1

Desde la perspectiva de la teoría de medidas geométricas, es habitual definir las medidas de Radon $\mu$ como medidas regulares de Borel que dan una medida finita a cualquier conjunto compacto. Por supuesto, su conexión con las funcionales lineales es muy importante, pero en todas las referencias que conozco, empiezan con una noción de medida de Radon y luego demuestran teoremas de representación que representan las funcionales lineales por integración contra las medidas de Radon.

He aquí algunos ejemplos:

$\color{blue}{I:}$ Evans y Gariepy Teoría de medidas y propiedades finas de las funciones lo dice así:

1. Una medida [exterior $\mu$ en $X$ es regular si para cada conjunto $A \subset X$ existe un $\mu$ -conjunto medible $B$ tal que $A\subset B$ y $\mu(A)=\mu(B)$ .
2. Una medida $\mu$ en $\Bbb{R}^n$ se llama Borel si todo conjunto de Borel es $\mu$ -medible.
3. Una medida $\mu$ en $\Bbb{R}^n$ es Borel regular si $\mu$ es Borel y para cada $A\subset\Bbb{R}^n$ existe un conjunto de Borel $B$ tal que $A\subset B$ y $\mu(A) = \mu(B)$ .
4. Una medida $\mu$ en $\Bbb{R}^n$ es un Radón medir si $\mu$ es Borel regular y $\mu(K) < \infty$ para cada conjunto compacto $K\subset \Bbb{R}^n$ .

$\color{blue}{II:}$ En la muy buena exposición que hace De Lellis del gran artículo de Preiss, ni siquiera define Radon explícitamente, sino que habla de medidas regulares de Borel que también son localmente finitas, con lo que quiere decir $\mu(K) < \infty$ para todos los compactos $K$ . Su Borel regular es un poco diferente en que sólo considera conjuntos medibles -- $\mu$ es Borel regular si cualquier conjunto medible $A$ está contenido en un conjunto de Borel $B$ tal que $\mu(A) = \mu(B)$ . (Me refiero a Conjuntos rectificables, densidades y medidas tangentes por Camillo De Lellis).

$\color{blue}{III:}$ En la obra de Leon Simon Conferencias sobre teoría de medidas geométricas define las medidas de Radon en espacios localmente compactos y separables como aquellas que son Borel regulares y finitas en subespacios compactos.

$\color{blue}{IV:}$ Federer 2.2.5 define las Medidas Radón como medidas a $\mu$ sobre un espacio de Hausdorff localmente compacto, que satisfagan las tres propiedades siguientes:

1. Si $K\subset X$ es compacto, entonces $\mu(K) < \infty$ .

2. Si $V\subset X$ está abierto, entonces $V$ es $\mu$ medibles y

   $\hspace{1in} \mu(V) = \sup\mu(K): K\text{ is compact, } K\subset V$

3. Si $A\subset X$ entonces

   $\hspace{1in} \mu(A) = \inf\mu(V): V\text{ is open, } A\subset V$

Nota: es un teorema (en realidad, un Corolario 1.11 en la obra de Mattila Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos ) que una medida es una Radon a la Federer si y sólo si es Borel Regular y localmente finita. Es decir {Federer Radón } $\Leftrightarrow$ {Simon o Evans y Gariepy Radón }. (Me refiero, por supuesto, al texto de Herbert Federer de 1969 Teoría de la medida geométrica .)

$\color{blue}{V:}$ A modo de comparación, Folland (en su libro de análisis real) define las cosas de forma un poco diferente. Por ejemplo, define la regularidad de forma diferente a los textos primero, tercero y cuarto anteriores. En ellos, una medida $\mu$ es regular si para cualquier $A\subset X$ hay un $\mu$ -conjunto medible $B$ tal que $A\subset B$ y $\mu(A) = \mu(B)$ . En Folland, una medida de Borel $\mu$ es regular si todos los conjuntos de Borel son aproximados desde el exterior por conjuntos abiertos y desde el interior por conjuntos compactos. Es decir, si

$\hspace{1in}\mu(B) = \inf \mu(V): V\text{ is open, } B\subset V$

y

$\hspace{1in}\mu(B) = \sup \mu(K): K\text{ is compact, } K\subset B$

para todo Borel $B\subset X$ .

La definición de Radon de Folland es muy parecida a la de Federer, pero no exactamente igual:

Una medida $\mu$ es Radon si es un Medida de Borel que satisfaga:

1. Si $K\subset X$ es compacto, entonces $\mu(K) < \infty$ .

2. Si $V\subset X$ está abierto, entonces

   $\hspace{1in} \mu(V) = \sup\mu(K): K\text{ is compact, } K\subset V$

3. Si $A\subset X$ y $A$ es Borel entonces

   $\hspace{1in} \mu(A) = \inf\mu(V): V\text{ is open, } A\subset V$

... y por medida de Borel, Folland entiende una medida cuyos conjuntos measuralbe son exactamente los conjuntos de Borel.

Debate: ¿Por qué elegir una definición en lugar de otra? En parte por preferencia personal: prefiero el enfoque típico adoptado en la teoría geométrica de la medida, empezando con una medida exterior y avanzando hasta las medidas de Radon a la Evans y Gariepy o Simon o Federer o Mattila. Parece, de algún modo, más natural y armonioso con el criterio de Caratheodory y la construcción de Caratheodory utilizados para generar medidas, como las medidas de Hausdorff.

Con este enfoque, por ejemplo, los conjuntos con una medida exterior de 0 son automáticamente medibles.

Otra razón para no utilizar la definición más restrictiva 2 (en la pregunta anterior) tiene sentido exigir que las imágenes continuas de los conjuntos de Borel sean medibles. Pero todo lo que sabemos es que los mapas continuos mapean conjuntos de Borel a conjuntos de Suslin. Y hay conjuntos de Suslin que no son de Borel. Si utilizamos la definición de Borel regular, como en I,III y IV más arriba, entonces los conjuntos de Suslin son medibles. En la sección 1.7 del libro de Krantz y Parks Teoría de la integración geométrica -- ver esa referencia para la definición de conjuntos Suslin. (Krantz y Parks es otro texto que podría haber añadido a la lista anterior y que coincide con I, III y IV en cuanto a Radon, Borel regular, etc.).

Answer 2

Sea $(X,\mathcal M, \mu)$ sea un espacio de medidas, donde $\mu$ es una medida positiva y $X$ es un espacio topológico. Sea $\mathcal B$ el Borel $\sigma$ -en $X$ .

La medida $\mu$ se denomina medida de Borel siempre que $\mathcal M\supset \mathcal B$ y $\mu$ es finito en conjuntos compactos.

Una medida de Radón $L$ en $X$ es una forma lineal continua en el espacio vectorial $C_c(X;\mathbb R)$ (funciones continuas de valor real con soporte compacto). El célebre teorema de la representación de Riesz-Markov establece que si $X$ es un espacio localmente compacto y $L$ es positivo (es decir, no negativo en funciones no negativas), entonces existe un espacio de medidas regular externo completo $(X,\mathcal M, \mu)$ tal que $\mu$ es una medida de Borel y $$ Lf=\int_Xfd\mu,\quad\text{for $ en C_c(X;\mathbb R) $}. $$ La regularidad interna es cierta cuando $X$ es $\sigma$ -compacto. El libro clásico de Walter Rudin, Real and Complex Analysis, sigue siendo la mejor referencia bibliográfica.