Hallar la longitud de $y=x^2$ de $x=0$ a $x=1$

Question

$$L=\int_0^1 \sqrt{1+4x^2} dx = \frac{1}{4}\left(\theta+2\sqrt{5}\right)$$

Le indica que utilice $2x=\sinh\theta$ .

Lo he intentado lo mejor que he podido, pero nunca consigo dar con el lado correcto de la ecuación.

¿Puede ayudarme?

Answer 1

Sugerencia Utiliza la sustitución como has escrito más arriba: $$ \int_0^1 \sqrt{1+4x^2} \;\mathrm{dx}= \left\vert \begin{array}{c} 2x = \sinh\theta\\ 4x^2 = \sinh^2\theta\\ dx = \frac{1}{2}\cosh\theta \;\mathrm{d\theta} \end{array} \right\vert = \int_{0}^{\log(2+\sqrt{5})} \sqrt{1+\sinh^2\theta}\frac{1}{2}\cosh\theta\;\mathrm{d\theta}\\ $$

Utilice ahora la igualdad $$ \cosh^2 \theta - \sinh^2\theta = 1. $$

Nota No olvide recalcular los límites, es un error fácil que se comete a menudo. Para ello puede utilizar la definición de $\sinh \theta$ : $$ \begin{align*} \sinh \theta &= \frac{e^\theta - e^{-\theta}}{2}\\ \cosh \theta &= \frac{e^\theta + e^{-\theta}}{2}. \end{align*} $$

Answer 2

Utilizando $2x=\sinh\theta$ rendimiento $x=\frac{1}{2}\sinh\theta$ y $dx=\frac{1}{2}\cosh\theta\,d\theta$ . El límite de la integral para $0<x<1$ es igual a $0<\theta<\sinh^{-1}2$ . Por lo tanto \begin{align} \int_0^1 \sqrt{1+4x^2}\,dx&=\int_0^{\sinh^{-1}2} \sqrt{1+4\left(\frac{1}{2}\sinh\theta\right)^2}\frac{1}{2}\cosh\theta\,d\theta\\ &=\frac{1}{2}\int_0^{\sinh^{-1}2} \sqrt{1+\sinh^2\theta}\cosh\theta\,d\theta\\ &=\frac{1}{2}\int_0^{\sinh^{-1}2} \cosh^2\theta\,d\theta\\ &=\frac{1}{2}\int_0^{\sinh^{-1}2} \cosh^2\theta\,d\theta\\ &=\frac{1}{2}\int_0^{\sinh^{-1}2} \frac{1}{2}(1+\cosh2\theta)\,d\theta\\ &=\frac{1}{4}\left[\theta+\frac{1}{2}\sinh2\theta\right]_0^{\sinh^{-1}2}\\ &=\frac{1}{4}(\sinh^{-1}2+2\sqrt{5}) \end{align} El último paso se puede calcular de la siguiente manera, sea $y=\sinh^{-1}2$ entonces $\sinh y=2$ y $$ \cosh y=\sqrt{1+\sinh^2 y}=\sqrt{5}\qquad\rightarrow\qquad\text{take the principal root} $$ entonces $$ \sinh2\theta=2\sinh\theta\cosh\theta=2\times2\times\sqrt{5}=4\sqrt{5} $$